Corrigé X-ENS 2025 Physique B PC — Partie I (Q17 à Q26) : Modèle en trois étapes : trajectoires de l'électron, énergie de retour, coupure du spectre

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Physique B PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Même modèle à une dimension qu'en Q14 (électron de charge $- e$ et de masse $m$ , champ $E (t) = - E_{0} sin (ω t) e_{x}$ , $T = 2 π / ω$ ), pour un électron qui s'est échappé de l'atome : on néglige désormais le champ du noyau.

Q17. Solution générale de l'équation du mouvement.
Q18. Énergie cinétique moyenne $U_{P}$ de l'électron dans le régime sinusoïdal forcé ( $x$ périodique), en fonction de $e E_{0}$ , $m$ et $ω$ .
Q19. L'électron part de l'origine sans vitesse initiale à l'instant $t_{i}$ : exprimer $x (t)$ .
Q20. Tracer sur un même graphique $x$ en fonction de $t / T$ pour $t_{i} = 0$ , $T /4$ et $T /2$ , avec $t / T$ entre $t_{i} / T$ et $1, 5$ .
Q21. Pour les quatre valeurs de $t_{i}$ de la figure 1, l'électron revient en $x = 0$ à l'instant $t_{r}$ : écrire l'équation reliant $t_{r}$ à $t_{i}$ , sans la résoudre.

Figure 1 — Trajectoires $x (t)$ pour quatre instants d'ionisation $t_{i}$ .

Q22. Modèle en trois étapes : l'électron est arraché, fait une excursion dans le champ, puis se recombine avec l'ion en émettant un unique photon d'énergie $I_{P} + E_{c} (t_{r})$ . Pulsation de ce photon ?
Q23. Sur la figure 1, quelle courbe donne l'énergie cinétique $E_{c} (t_{r})$ maximale ? minimale ?
Q24. Exprimer $E_{c} (t_{r})$ en fonction de $U_{P}$ , $ω t_{i}$ et $ω t_{r}$ .
Q25. La figure 2 donne $E_{c} (t_{r}) / U_{P}$ en fonction de $t_{r} / T$ : la recopier en indiquant les valeurs de $t_{i}$ en différents points.

Figure 2 — Énergie cinétique au retour en fonction de l'instant de retour.

Q26. La figure 3 donne, en échelle logarithmique, l'intensité rayonnée lors de la recombinaison en fonction de la fréquence, en unité de la fréquence du laser. Interpréter son allure ; la condition de Q3 est-elle vérifiée ? À l'aide de Q22 et de la figure 2, exprimer approximativement le rang maximal $n_{m a x}$ des harmoniques en fonction de $U_{P}$ , $I_{P}$ , $ℏ$ et $ω$ .

Figure 3 — Spectre de la lumière émise par l'argon (tirets : rangs impairs).

Corrigé

Q17. Sans le noyau, le principe fondamental de la dynamique (référentiel du laboratoire galiléen, force magnétique et poids négligés, Q14) se réduit à

$m x ¨ = e E_{0} sin ω t .$

Solution générale = solution particulière + solution de l'équation homogène $m x ¨ = 0$ . Une solution particulière est $x_{p} = - \frac{e E _{0}}{m ω ^{2}} sin ω t$ (on vérifie $m x ¨_{p} = e E_{0} sin ω t$ ) ; l'équation homogène donne $A t + B$ . D'où

$x (t) = - \frac{e E _{0}}{m ω ^{2}} sin ω t + A t + B,$

$A$ et $B$ étant fixées par les conditions initiales. Le mouvement est une oscillation forcée d'amplitude $x_{0} = e E_{0} / (m ω^{2})$ superposée à une dérive uniforme de vitesse $A$ . Numériquement ( $E_{0} = 3 \times 1 0^{10} V \cdot m^{- 1}$ , $ω = 2 π c / λ = 2, 4 \times 1 0^{15} rad \cdot s^{- 1}$ ), $x_{0} \approx 1 nm$ , une dizaine de rayons atomiques : loin du noyau, négliger son champ est raisonnable.

Ce que le correcteur attend : les deux constantes d'intégration ; une primitive seconde du second membre n'est pas la solution générale.

Q18. Le mouvement périodique impose $A = 0$ (sinon $x$ croît sans borne). La vitesse vaut alors $x ˙ = - \frac{e E _{0}}{mω} cos ω t$ et, comme $⟨ cos^{2} ω t ⟩ = 1/2$ ,

$U_{P} = ⟨ \frac{1}{2} m x ˙^{2} ⟩ = \frac{1}{2} m \frac{e ^{2} E _{0}^{2}}{m ^{2} ω ^{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{( e E _{0} ) ^{2}}{4 m ω ^{2}} .$

Homogénéité : $(e E_{0})^{2}$ est en $N^{2}$ , $m ω^{2}$ en $N \cdot m^{- 1}$ , le rapport en $N \cdot m = J$ . C'est l'énergie pondéromotrice. Avec $E_{0} = 3 \times 1 0^{10} V \cdot m^{- 1}$ , $U_{P} \approx 1 \times 1 0^{- 18} J \approx 7 eV$ , du même ordre que $I_{P}$ .

Q19. La vitesse est $x ˙ = - \frac{e E _{0}}{mω} cos ω t + A$ . La condition $x ˙ (t_{i}) = 0$ donne $A = \frac{e E _{0}}{mω} cos ω t_{i}$ , puis $x (t_{i}) = 0$ donne $B = \frac{e E _{0}}{m ω ^{2}} sin ω t_{i} - A t_{i}$ . Avec $x_{0} = e E_{0} / (m ω^{2})$ :

$x (t) = x_{0} [sin ω t_{i} - sin ω t + ω (t - t_{i}) cos ω t_{i}], x ˙ (t) = \frac{e E _{0}}{mω} (cos ω t_{i} - cos ω t) .$

Vérification : $x (t_{i}) = 0$ , $x ˙ (t_{i}) = 0$ et $m x ¨ = m x_{0} ω^{2} sin ω t = e E_{0} sin ω t$ . La vitesse de dérive $\frac{e E _{0}}{mω} cos ω t_{i}$ dépend de la phase du champ à l'instant d'ionisation.

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