Corrigé X-ENS 2025 Physique B PC — Partie II (Q27 à Q35) : Superposition d'harmoniques, train d'impulsions attosecondes et méthode RABITT

Q27. Le signal lumineux (onde scalaire) en un point est

$$s(t)=\sum _q{A}_q\cos (q\omega t+{\phi }_q)=\mathrm{Re}\underline{s}(t),\underline{s}(t)=\sum _q{A}_q{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(q\omega t+{\phi }_q)}.$$

Comme en optique ondulatoire, la puissance reçue par un détecteur est proportionnelle à la moyenne de $s^2$ sur une durée courte devant l'échelle de variation de l'enveloppe ; elle vaut, à une constante près, $\underline{s}{\underline{s}}^{\ast }/2$, les termes en ${\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}(q+q^{\prime })\omega t}$ de $s^2$ s'éliminant par cette moyenne. On écrit donc

$$\begin{array}{rl}I(t)=\underline{s}(t){\underline{s}}^{\ast }(t)& =\sum _q\sum _{q^{\prime }}{A}_q{A}_{q^{\prime }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}[(q-q^{\prime })\omega t+{\phi }_q-{\phi }_{q^{\prime }}]}\\ & =\sum _q{A}_q^2+2\sum _{q<q^{\prime }}{A}_q{A}_{q^{\prime }}\cos ((q^{\prime }-q)\omega t+{\phi }_{q^{\prime }}-{\phi }_q).\end{array}$$

Le produit $\underline{s}{\underline{s}}^{\ast }={\left|\underline{s}\right|}^2$ est réel par construction : inutile d'en prendre la partie réelle (les termes $(q,q^{\prime })$ et $(q^{\prime },q)$ sont conjugués et s'ajoutent en un cosinus). Chaque terme ne fait intervenir que la différence ${\phi }_q-{\phi }_{q^{\prime }}$ : ajouter une même phase ${\phi }_0$ à toutes les harmoniques multiplie $\underline{s}$ par ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\phi }_0}$ et laisse ${\left|\underline{s}\right|}^2$ inchangé. Physiquement, une phase commune ne fait que décaler la porteuse sous l'enveloppe, ce que la puissance moyennée ne voit pas. (Cette séparation porteuse/enveloppe suppose que les pulsations $(q+q^{\prime })\omega$ éliminées soient grandes devant les pulsations $\left|q-q^{\prime }\right|\omega$ conservées, c'est-à-dire que les rangs $q$ soient grands devant leur étalement : c'est le cas du faisceau filtré, $q\approx 20$ pour un étalement de quelques unités.)

Q28. Avec $A_q=A$ et ${\phi }_q=\phi$ pour $n\le q\le n+N-1$, la somme est géométrique, de raison ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}$ :

$$\begin{array}{rl}\underline{s}(t)=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }\sum _{q=n}^{n+N-1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}q\omega t}& =A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\phi +n\omega t)}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}N\omega t}-1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}-1}\\ & =A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}[\phi +(n+\frac{N-1}{2})\omega t]}\frac{\sin (N\omega t/2)}{\sin (\omega t/2)},\end{array}$$

d'où la fonction des réseaux (fonction d'Airy du réseau à $N$ traits) :

$$\boxed{I(t)=A^2\frac{{\sin }^2(N\omega t/2)}{{\sin }^2(\omega t/2)}}.$$

Elle est périodique de période $2\pi /\omega =T$. Ses maximums principaux sont atteints quand $\omega t/2=k\pi$, c'est-à-dire en $t_k=kT$, où les $N$ termes sont en phase et $I=N^2{A}^2$. Les zéros les plus proches de $t=0$ sont en $N\omega t/2=\pm \pi$, soit $t=\pm T/N$. Entre deux maximums principaux, on trouve $N-1$ zéros et $N-2$ maximums secondaires, dont le plus grand vaut environ $A^2/{\sin }^2(3\pi /2N)\approx 0,045N^2{A}^2$ : pour $N\gg 1$, $I(t)$ est une suite de pics étroits et identiques, espacés de $T$, de demi-largeur (du sommet au premier zéro)

$$\boxed{\delta t=\frac{T}{N}}.$$

La largeur à mi-hauteur, $0,89T/N$, est du même ordre. La valeur moyenne de $I$ est $N{A}^2$ (somme des intensités, les termes croisés étant de moyenne nulle) : alors que des phases aléatoires répartiraient l'énergie à peu près uniformément dans le temps, elle se concentre ici dans des pics $N$ fois plus intenses que la moyenne et $N$ fois plus brefs que la période. Ordre de grandeur : $T\approx 2,7\mathrm{fs}$ et $N\approx 10$ donnent des pics de $0,3\mathrm{fs}$.