Corrigé X-ENS 2025 Physique B PC — Partie III (Q36 à Q41) : Spectromètre à bouteille magnétique : mouvement hélicoïdal et alignement des électrons

L'énergie cinétique des photoélectrons (charge $-e$, masse $m$) est mesurée par un spectromètre magnétique.

Q36. Dans un champ $\overrightarrow{B}$ uniforme, avec une vitesse initiale orthogonale à $\overrightarrow{B}$, exprimer le rayon $r$ de la trajectoire en fonction de $e$, $m$, $B$ et de la vitesse $v_{\perp }$.
Q37. En déduire la valeur absolue $J$ du moment cinétique de l'électron par rapport au centre de la trajectoire, en fonction de $e$, $r$ et $B$.
Q38. Vitesse initiale $\overrightarrow{v}$ quelconque, faisant l'angle $\theta$ avec $\overrightarrow{B}$ : le mouvement projeté dans un plan perpendiculaire au champ est encore un cercle ; exprimer son rayon $r$ en fonction de $e$, $m$, $B$, $v$ et $\theta$.

Le spectromètre utilise un champ magnétique permanent, non uniforme, de symétrie de révolution autour de $Oz$ : en tout point $M$, le champ est contenu dans le plan contenant $Oz$ et $M$. Les électrons entrent à gauche, parcourent une longue zone de champ quasi uniforme et sont détectés à droite (figure 5).

Figure 5 — Lignes de champ (fléchées) et trajectoires des électrons projetées sur un plan contenant l'axe.

Q39. Comment varie la norme du champ de gauche à droite le long d'une ligne de champ ?
Q40. Le champ variant lentement le long de la trajectoire, le mouvement transverse reste quasi circulaire, de rayon lentement variable, et l'on admet que $J$ (Q37) reste constant. Le champ est supposé uniforme sur les surfaces d'entrée et de sortie, de normes $B_i$ et $B_f$. Relation entre les inclinaisons initiale ${\theta }_i$ et finale ${\theta }_f$ de la trajectoire ?
Q41. Les photoélectrons ont des directions aléatoires ; on choisit $B_i$ et $B_f$ pour que ${\theta }_f$ soit petit, et l'essentiel du trajet se fait dans le champ $B_f$. La vitesse est déduite du temps de vol et de la longueur $L$ du spectromètre. Du fait de ${\theta }_f\ne 0$, la distance parcourue n'est pas exactement $L$ : en déduire l'incertitude relative sur la vitesse en fonction de $B_f/B_i$.