Corrigé X-ENS 2025 Physique B PC — Préambule et partie I (Q1 à Q10) : Modèle de Bohr, focalisation d'un faisceau gaussien, champ du laser au foyer

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2025, épreuve Physique B PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On note $q^{2} = e^{2} / (4 π ε_{0})$ , $e > 0$ la charge élémentaire, $m$ la masse de l'électron, $ℏ$ la constante de Planck réduite. Calculatrice interdite ; applications numériques à un chiffre significatif.

Q1. Dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, exprimer la période de révolution $T_{e}$ de l'électron dans le niveau fondamental en fonction de $q^{2}$ , $ℏ$ et $m$ (le sujet donne ensuite $T_{e} = 1, 5 \times 1 0^{- 16} s$ ).

Partie I. On veut fabriquer, à partir d'un laser de fréquence $ν$ , des harmoniques de période inférieure à $T_{e}$ .
Q2. Le laser émet à $λ = 800 nm$ : domaine du spectre ?
Q3. Valeur de la période $T$ de l'onde laser ; rang minimal des harmoniques de période inférieure à $T_{e}$ .

Le faisceau, gaussien, se propage dans le vide selon $z$ ( $r$ : distance à l'axe, $w_{0}$ : waist, $z_{R}$ : longueur de Rayleigh, $I_{0} = I (0, 0)$ ) :

$I (r, z) = I_{0} (\frac{w _{0}}{w ( z )})^{2} exp (- \frac{2 r ^{2}}{w ( z ) ^{2}}), w (z) = w_{0} 1 + (\frac{z}{z _{R}})^{2}, z_{R} = \frac{π w _{0}^{2}}{λ} .$

Q4. Avec $w_{0} = 4 mm$ , ordre de grandeur de $z_{R}$ ; justifier que le faisceau est cylindrique sur une longueur de l'ordre du mètre autour de $z = 0$ .
Q5. Il est focalisé par une lentille mince de focale $f = 1 m$ , de même axe que le faisceau : vérifier les conditions de Gauss.
Q6. Le faisceau émergent est gaussien : dessiner son allure, exprimer son waist $w_{0}^{'}$ en fonction de $λ$ , $f$ , $w_{0}$ , et l'estimer.
Q7. Impulsions d'énergie $E_{L} = 1 mJ$ et de durée $T_{L} = 40 fs$ : ordre de grandeur littéral puis numérique de la puissance surfacique $P_{L}$ au foyer.
Q8. Ordre de grandeur littéral de l'amplitude $E_{0}$ du champ électrique, en fonction de $P_{L}$ , $c$ et $μ_{0}$ .
Q9. Au-dessus de l'atmosphère, le flux solaire est celui d'une onde plane d'amplitude $700 V \cdot m^{- 1}$ . En déduire par proportionnalité l'ordre de grandeur de $E_{0}$ .
Q10. $I_{P}$ est l'énergie d'ionisation de l'argon (de l'ordre de $10 eV$ ). Rappeler la taille d'un atome ; en déduire par analyse dimensionnelle le champ électrique vu par un électron périphérique et le comparer à $E_{0}$ .

Corrigé

Q1. Système : l'électron, dans le référentiel du noyau, supposé galiléen (le proton, $1836$ fois plus lourd, est pris fixe). Seule force : l'attraction coulombienne $F = - \frac{q ^{2}}{r ^{2}} e_{r}$ (le poids est négligeable). Sur une orbite circulaire de rayon $r$ , le mouvement est uniforme (force centrale de norme constante) et le principe fondamental de la dynamique projeté sur $e_{r}$ donne

$m \frac{v ^{2}}{r} = \frac{q ^{2}}{r ^{2}} .$

Le postulat de Bohr quantifie le moment cinétique : $L = m r v = n ℏ$ , avec $n = 1$ pour le niveau fondamental. En divisant la première relation, écrite $m v^{2} r = q^{2}$ , par $m v r = ℏ$ , il vient $v = q^{2} /ℏ$ , puis $r = ℏ/ (m v) = ℏ^{2} / (m q^{2})$ (rayon de Bohr $a_{0}$ ). La période vaut

$T_{e} = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π ℏ ^{3}}{m q ^{4}} .$

Homogénéité : $q^{2}$ est en $J \cdot m$ et $ℏ$ en $J \cdot s$ , donc $ℏ^{3} / (m q^{4})$ est en $J \cdot s^{3} / (kg \cdot m^{2}) = s$ . Numériquement ( $q^{2} = 2, 3 \times 1 0^{- 28} J \cdot m$ ), $a_{0} = 5 \times 1 0^{- 11} m$ , $v = 2 \times 1 0^{6} m \cdot s^{- 1} ≪ c$ et $T_{e} = 1, 5 \times 1 0^{- 16} s$ , la valeur annoncée.

Q2. Le visible s'étend d'environ $400$ à $750$ – $800 nm$ : $λ = 800 nm$ est dans le proche infrarouge, à la limite du rouge (c'est le laser titane-saphir).

Q3. Dans le vide, $T = \frac{λ}{c} = \frac{8 \times 1 0 ^{- 7}}{3 \times 1 0 ^{8}} \approx 2, 7 \times 1 0^{- 15} s$ , soit $T \approx 3 fs$ . L'harmonique de rang $q$ a pour période $T / q$ , inférieure à $T_{e}$ si

$q > \frac{T}{T _{e}} = \frac{2 , 7 \times 1 0 ^{- 15}}{1 , 5 \times 1 0 ^{- 16}} \approx 18.$

Le calcul plus précis ( $T = 2, 67 fs$ , $T / T_{e} = 17, 8$ ) donne un rang minimal $q = 18$ , soit environ $20$ en ordre de grandeur (et même $19$ si, comme on le verra en Q16, seules les harmoniques impaires sont produites) : il faut des harmoniques de longueur d'onde $λ /18 \approx 40 nm$ , dans l'ultraviolet extrême.

Ce que le correcteur attend : une puissance de dix juste ; $8 \times 1 0^{- 7} / (3 \times 1 0^{8})$ est de l'ordre de $1 0^{- 15}$ , jamais de $1 0^{17}$ , et une période optique se compte en femtosecondes.

Q4. $z_{R} = \frac{π w _{0}^{2}}{λ} = \frac{π \times ( 4 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{8 \times 1 0 ^{- 7}} = 20 π m \approx 6 \times 1 0^{1} m$ , soit quelques dizaines de mètres. Pour $∣ z ∣ \leq 0, 5 m$ , $z / z_{R} \leq 8 \times 1 0^{- 3}$ et le développement limité donne

$\frac{w ( z ) - w _{0}}{w _{0}} ≃ \frac{1}{2} (\frac{z}{z _{R}})^{2} \leq 3 \times 1 0^{- 5} :$

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