Corrigé X-ENS 2026 Chimie A PC — Problème 1, Partie II (Q20 à Q22) : DBO et cinétique d'autoépuration

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Chimie A PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La dégradation naturelle de la matière organique est biologique (bactéries, oxydant $O X_{2}$ ). La demande biologique en oxygène $DBO_{t}$ (en mg d' $O X_{2}$ par litre d'échantillon) est la masse de dioxygène consommée pour dégrader biologiquement la matière organique à $2 0^{\circ} C$ , à l'obscurité, pendant la durée $t$ ; on mesure la concentration en $O X_{2}$ dissous juste après le prélèvement puis après incubation (oxygénomètre).

Mesure de $DBO_{5}$ (5 jours) sur une eau usée urbaine : deux flacons saturés en $O X_{2}$ ( $C_{0} \approx 9 mg \cdot L^{- 1}$ à $2 0^{\circ} C$ ), ensemencés par des bactéries ; témoin : $300 mL$ d'eau distillée ; test : $10 mL$ d'eau usée $+$ $290 mL$ d'eau distillée. Après 5 jours : $C_{ed} = 8 mg \cdot L^{- 1}$ (témoin), $C_{eu} = 2 mg \cdot L^{- 1}$ (test).

Q20. Calculer la $DBO_{5}$ de l'eau usée.

La consommation de dioxygène suit une cinétique d'ordre 1 :

$\frac{d [ O X _{2} ]}{d t} + k_{T} ln (10) ([O X_{2}] - [O X_{2}]_{\infty}) = 0, k_{T} = 0, 2 j^{- 1},$

$[O X_{2}]_{\infty}$ étant la concentration en dioxygène à l'équilibre (fin de la dégradation).

Q21. Expressions et représentations graphiques de $[O X_{2}] (t)$ et de $DBO_{t}$ en fonction de $t$ , $[O X_{2}]_{0}$ , $[O X_{2}]_{\infty}$ et $k_{T}$ .
*Q22. ()** Calculer la valeur de $DBO_{\infty}$ .

Corrigé

Q20. Dans chaque flacon, la consommation de dioxygène est la différence entre concentration initiale et concentration finale.

Témoin (eau distillée ensemencée) : $C_{0} - C_{ed} = 9 - 8 = 1 mg \cdot L^{- 1}$ . Cette consommation ne doit rien à l'eau usée : elle provient de la respiration propre des bactéries ensemencées et des traces de matière organique de l'eau de dilution.
Flacon test : $C_{0} - C_{eu} = 9 - 2 = 7 mg \cdot L^{- 1}$ .

La consommation due à l'eau usée, dans le flacon de $300 mL$ , est donc $7 - 1 = 6 mg \cdot L^{- 1}$ (en toute rigueur la correction du témoin porte sur les $290 mL$ d'eau de dilution, $1 \times 290/300 \approx 0, 97 mg \cdot L^{- 1}$ : l'écart est négligeable). L'eau usée a été diluée d'un facteur $300/10 = 30$ ; rapportée à un litre d'eau usée :

$DBO_{5} = [(C_{0} - C_{eu}) - (C_{0} - C_{ed})] \times \frac{300}{10} = (C_{ed} - C_{eu}) \times 30$

$DBO_{5} = 6 \times 30 = 1, 8 \times 1 0^{2} mg \cdot L^{- 1} d’ O X_{2} .$

Ce que le correcteur attend : la soustraction du témoin et le facteur de dilution. Remarque : la dilution est indispensable, car sans elle l'eau usée consommerait bien plus que les $9 mg \cdot L^{- 1}$ d' $O X_{2}$ dissous disponibles ; le flacon test garde d'ailleurs $2 mg \cdot L^{- 1}$ d' $O X_{2}$ , les bactéries n'ont jamais manqué d'oxydant.

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