Corrigé X-ENS 2026 Physique B PC — Partie I.1 (Q1 à Q7.5) : Chaîne monoatomique : dispersion, zone de Brillouin, onde évanescente

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique B PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Chaîne infinie de masses $m$ identiques, reliées par des ressorts identiques de raideur $β$ ; à l'équilibre, la masse $n$ est en $x = na$ . On note $u_{n} (t)$ son déplacement longitudinal par rapport à l'équilibre.

Figure 1 — Chaîne monoatomique.

Q1. Équation du mouvement de la masse $n$ .
Q2. Avec $u_{n} = U_{0} e^{i (k na - ω t)}$ , établir la relation de dispersion $ω (k)$ (on rappelle $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ ).
Q3. Intervalle de $k$ de la première zone de Brillouin (période en $k$ centrée sur l'origine).
Q4. Tracer $ω (k)$ sur cette zone.
Q5. Signification physique de la pente en $k = 0$ .
Q6. Vitesse de groupe en $k = \pm π / a$ ; conséquence pour la propagation.
Q7. Une source impose $u_{0} = U_{0} e^{- i ω t}$ avec $ω = α β / m$ , $α > 2$ .
Q7.1. Montrer qu'il faut un nombre d'onde complexe $k = k^{'} + i k^{''}$ .
Q7.2. Trouver $k^{'}$ dans la première zone (on donne $sin (x + i y) = sin x ch y + i cos x sh y$ ).
Q7.3. Les deux valeurs possibles de $k^{''}$ ; laquelle garder pour $n > 0$ et pour $n < 0$ ?
Q7.4. Tracer la solution.
Q7.5. Pourquoi « évanescente » plutôt que « propagative » ? Gammes de pulsations des ondes propagatives et évanescentes.

Corrigé

Q1. Système : la masse $n$ , dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen ; mouvement longitudinal selon $x$ (poids et réaction du support se compensent, frottements négligés). Le ressort de droite est allongé de $u_{n + 1} - u_{n}$ : il tire la masse $n$ vers les $x$ croissants avec la force $β (u_{n + 1} - u_{n}) e_{x}$ . Le ressort de gauche est allongé de $u_{n} - u_{n - 1}$ : il la tire vers les $x$ décroissants avec la force $- β (u_{n} - u_{n - 1}) e_{x}$ . Le principe fondamental de la dynamique projeté sur $e_{x}$ donne

$m u ¨_{n} = β (u_{n + 1} - u_{n}) - β (u_{n} - u_{n - 1}) = β (u_{n + 1} + u_{n - 1} - 2 u_{n}) .$

C'est un système infini d'équations différentielles couplées, linéaires, invariant par translation $n \to n + 1$ : c'est ce qui autorise la recherche d'ondes harmoniques.

Q2. On injecte $u_{n} = U_{0} e^{i (k na - ω t)}$ : $u ¨_{n} = - ω^{2} u_{n}$ et $u_{n \pm 1} = e^{\pm i k a} u_{n}$ . Après simplification par $u_{n} \neq = 0$ :

$- m ω^{2} = β (e^{i k a} + e^{- i k a} - 2) = - 2 β (1 - cos k a) = - 4 β sin^{2} \frac{k a}{2},$

d'où la relation de dispersion

$ω^{2} = \frac{4 β}{m} sin^{2} \frac{k a}{2} soit ω (k) = 2 \frac{β}{m} sin \frac{k a}{2} (ω \geq 0) .$

Homogénéité : $β / m$ est en $s^{- 1}$ ( $β$ en $N \cdot m^{- 1} = kg \cdot s^{- 2}$ ), $k a$ sans dimension. La relation n'est pas linéaire en $k$ : la chaîne est un milieu dispersif.

Q3. $sin^{2} (k a /2) = \frac{1}{2} (1 - cos k a)$ est périodique en $k$ de période $2 π / a$ . La première zone de Brillouin est donc

$k \in [- \frac{π}{a}, \frac{π}{a}] .$

Cette périodicité n'est pas un artefact : $k$ et $k + 2 π / a$ donnent exactement les mêmes déplacements $u_{n}$ aux points $x = na$ , les seuls où il y a de la matière. Seules les longueurs d'onde $λ \geq 2 a$ sont physiquement distinctes.

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