Corrigé X-ENS 2026 Physique B PC — Partie I.2 (Q8 à Q16) : Chaîne dimérisée (modèle SSH mécanique) : branches acoustique et optique, bande interdite

Q8. Chaque masse, étudiée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, est soumise horizontalement aux seules tensions de ses deux ressorts (même raisonnement qu'en Q1 de la partie I.1). La masse $2n$ est liée à gauche à $2n-1$ par ${\beta }_2$ et à droite à $2n+1$ par ${\beta }_1$ ; la masse $2n+1$ est liée à gauche à $2n$ par ${\beta }_1$ et à droite à $2n+2$ par ${\beta }_2$. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur ${\overrightarrow{e}}_x$ donne

$$m{\ddot{u}}_{2n}={\beta }_1(u_{2n+1}-u_{2n})-{\beta }_2(u_{2n}-u_{2n-1}),$$

$$m{\ddot{u}}_{2n+1}={\beta }_2(u_{2n+2}-u_{2n+1})-{\beta }_1(u_{2n+1}-u_{2n}).$$

Q9. La période spatiale du réseau est maintenant $2a$ (maille à deux masses $2n$, $2n+1$) : d'une maille à la suivante, la solution est multipliée par ${\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}ka}$. Ainsi ${\underline{u}}_{2n-1}={\underline{u}}_{2(n-1)+1}=U_1{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}ka}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(2kna-\omega t)}$ et ${\underline{u}}_{2n+2}=U_0{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}ka}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(2kna-\omega t)}$. En divisant par $m$ et en simplifiant par l'exponentielle commune :

$$-{\omega }^2{U}_0={\omega }_1^2(U_1-U_0)-{\omega }_2^2\left(U_0-U_1{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}ka}\right),$$

$$-{\omega }^2{U}_1={\omega }_2^2\left(U_0{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}ka}-U_1\right)-{\omega }_1^2(U_1-U_0),$$

soit ${\omega }^2(U_0,U_1{)}^{\mathrm{T}}=\mathbf{D}(k)(U_0,U_1{)}^{\mathrm{T}}$ avec

$$\mathbf{D}(k)=\left(\begin{array}{cc}{\omega }_1^2+{\omega }_2^2& -\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}ka}\right)\\ -\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}ka}\right)& {\omega }_1^2+{\omega }_2^2\end{array}\right).$$

$\mathbf{D}(k)$ est hermitienne : ses valeurs propres ${\omega }^2$ sont réelles, ce qu'exige un système conservatif.

Q10. Un vecteur $(U_0,U_1)$ non nul n'existe que si $\det \left(\mathbf{D}(k)-{\omega }^2\mathbb{I}\right)=0$ :

$${\left({\omega }_1^2+{\omega }_2^2-{\omega }^2\right)}^2={\left|{\omega }_1^2+{\omega }_2^2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}ka}\right|}^2={\omega }_1^4+{\omega }_2^4+2{\omega }_1^2{\omega }_2^2\cos (2ka),$$

d'où les deux branches

$${\omega }_{\pm }^2={\omega }_1^2+{\omega }_2^2\pm \sqrt{{\omega }_1^4+{\omega }_2^4+2{\omega }_1^2{\omega }_2^2\cos (2ka)}.$$

La branche « $-$ » est la branche acoustique, la branche « $+$ » la branche optique.

Q11. La relation de dispersion est symétrique dans l'échange ${\omega }_1\leftrightarrow {\omega }_2$ : les cas ${\omega }_1/{\omega }_2=2/3$ et $3/2$ ont exactement le même spectre. Pour une chaîne infinie, ils ne diffèrent que par le choix de la maille (associer chaque masse paire à sa voisine de droite ou de gauche) : ce sont les mêmes chaînes décalées d'un site. En revanche les vecteurs propres $(U_0,U_1)$ ne sont pas les mêmes (le terme non diagonal devient ${\omega }_2^2+{\omega }_1^2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}ka}$) ; cette différence, invisible dans le volume, se manifestera sur les bords et aux interfaces : c'est l'objet de la topologie (Q17 à Q21).

Q12. $\cos (2ka)$ est périodique de période $\pi /a$ : la première zone de Brillouin est

$$k\in \left[-\frac{\pi }{2a},\frac{\pi }{2a}\right],$$

deux fois plus étroite que pour la chaîne monoatomique. La période du réseau a doublé ($2a$ au lieu de $a$) ; la zone de Brillouin, de largeur $2\pi /(\text{peˊriode})$, est divisée par deux. Il y a deux masses par maille, donc deux branches : la zone réduite « replie » la courbe de la chaîne monoatomique. Pour ${\omega }_1={\omega }_2={\omega }_0$, on retrouve ${\omega }_{\pm }^2=2{\omega }_0^2(1\pm \cos ka)$ sur $\left|k\right|\le \pi /(2a)$ : la branche « $-$ » est $4{\omega }_0^2{\sin }^2(ka/2)$ (Q2) et la branche « $+$ » est la partie $\pi /(2a)\le \left|k\right|\le \pi /a$ de la chaîne monoatomique, translatée de $\pi /a$.