Corrigé X-ENS 2026 Physique B PC — Partie I.3 (Q17 à Q21) : Invariant topologique de la chaîne SSH et mode d'interface

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique B PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend la matrice dynamique $D (k)$ de la chaîne dimérisée (Q9). On note $I$ l'identité et $σ_{x} = (0110)$ , $σ_{y} = (0 i - i 0)$ les matrices de Pauli.

Q17. Écrire $D (k) = d_{0} I + d_{x} (k) σ_{x} + d_{y} (k) σ_{y}$ en explicitant $d_{0}$ , $d_{x} (k)$ , $d_{y} (k)$ .
Q18. Pour $k \in [- π / (2 a), π / (2 a)]$ , tracer la trajectoire de $d (k) = (d_{x}, d_{y})$ dans le plan $(O x y)$ , pour $ω_{1} > ω_{2}$ puis $ω_{1} < ω_{2}$ ; y représenter $d (k)$ en un point et l'angle $ϕ (k)$ entre $d (k)$ et $(O x)$ .
Q19. Évaluer graphiquement l'invariant topologique $ν = \frac{1}{2 π} \int_{- π / (2 a)}^{π / (2 a)} d ϕ (k)$ , nombre de tours de $d (k)$ autour de l'origine, dans les deux cas.

Interface entre deux chaînes SSH. À droite ( $n \geq 0$ ), une chaîne de $N_{d}$ masses avec $ω_{1}^{d} / ω_{2}^{d} > 1$ ; à gauche ( $n < 0$ ), une chaîne de $N_{g}$ masses dont on fait varier $ω_{1}^{g} / ω_{2}^{g}$ . La figure 4 donne les pulsations propres de l'ensemble ( $N_{d} = N_{g} = 20$ ) : les points forment des zones grisées (bandes), et quelques points isolés apparaissent dans la zone blanche, seulement pour $ω_{1}^{g} / ω_{2}^{g} < 1$ .

Figure 4 — Pulsations propres de la chaîne composée (schéma : les bandes, formées de points très serrés, sont représentées par des aplats, plus foncés là où les deux chaînes contribuent ; la ligne de points isolés est dans la zone blanche).

Q20. Calculer $ν_{g}$ et $ν_{d}$ dans les différentes parties du graphique ; vérifier que le nombre de solutions dans la zone blanche vaut $∣ ν_{g} - ν_{d} ∣$ .
Q21. À l'aide de Q15, représenter qualitativement le profil spatial de la solution de la zone blanche pour $ω_{1}^{g} / ω_{2}^{g} = 0, 7$ . Pourquoi parle-t-on de mode de bord ?

Corrigé

Q17. Pour des réels $d_{0}, d_{x}, d_{y}$ ,

$d_{0} I + d_{x} σ_{x} + d_{y} σ_{y} = (d_{0} d_{x} + i d_{y} d_{x} - i d_{y} d_{0}) .$

On identifie avec $D (k)$ (Q9) : $d_{0} = ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}$ et $d_{x} + i d_{y} = - (ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2} e^{2 i k a})$ , soit

$d_{0} = ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}, d_{x} (k) = - (ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2} cos 2 k a), d_{y} (k) = - ω_{2}^{2} sin 2 k a .$

(Vérification : $d_{x} - i d_{y} = - ω_{1}^{2} - ω_{2}^{2} cos 2 k a + i ω_{2}^{2} sin 2 k a = - (ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2} e^{- 2 i k a})$ .) Les valeurs propres de $d_{0} I + d \cdot σ$ sont $d_{0} \pm d$ : on retrouve $ω_{\pm}^{2} = d_{0} \pm d (k)$ , avec $d^{2} = ω_{1}^{4} + ω_{2}^{4} + 2 ω_{1}^{2} ω_{2}^{2} cos 2 k a$ (Q10). Le terme $d_{0} I$ décale le spectre sans modifier les vecteurs propres : toute l'information « géométrique » est dans $d (k)$ .

Q18. Posons $θ = 2 k a$ , qui parcourt $[- π, π]$ quand $k$ parcourt la zone de Brillouin :

$d = (- ω_{1}^{2}, 0) - ω_{2}^{2} (cos θ, sin θ) .$

C'est un cercle de centre $(- ω_{1}^{2}, 0)$ et de rayon $ω_{2}^{2}$ , parcouru exactement une fois, dans le sens trigonométrique (le point est repéré depuis le centre par l'angle $θ + π$ , croissant). Il part de $(ω_{2}^{2} - ω_{1}^{2}, 0)$ en $k = - π / (2 a)$ , passe en $(- ω_{1}^{2}, ω_{2}^{2})$ puis en $(- ω_{1}^{2} - ω_{2}^{2}, 0)$ en $k = 0$ . Le cercle entoure l'origine si et seulement si son rayon dépasse la distance du centre à l'origine : $ω_{2}^{2} > ω_{1}^{2}$ .

Trajectoires de $d (k)$ (sens de parcours fléché, $k$ croissant) : à gauche l'origine est extérieure au cercle, à droite elle est intérieure.

Q19. $ϕ (k)$ est l'angle polaire de $d (k)$ ; $ν$ est sa variation totale divisée par $2 π$ , c'est-à-dire l'indice de la courbe fermée par rapport à l'origine.

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