Corrigé X-ENS 2026 Physique B PC — Partie II.1-II.2 (Q22 à Q30) : Équations de Saint-Venant en rotation, ondes de Poincaré et mode géostrophique

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique B PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Base locale $(e_{x}, e_{y}, e_{z})$ à la surface de la Terre : $e_{x}$ vers l'est, $e_{y}$ vers le nord, $e_{z}$ selon la verticale ascendante ; $Ω$ est le vecteur rotation de la Terre, $ℓ^$ la latitude.

Figure 5 — Système de coordonnées à la surface de la Terre.

L'océan (vitesse horizontale $u (x, y, t)$ , hauteur $h (x, y, t)$ ) obéit à

$\frac{\partial h}{\partial t} + div (h u) = 0, \frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot grad) u = - g grad h + F_{c} .$

Q22. Reconnaître et nommer ces deux équations.

Pour des mouvements horizontaux, $F_{c} = - f e_{z} \land u$ avec $f = 2 Ω \cdot e_{z}$ (paramètre de Coriolis).
Q23. $f$ en fonction de $ℓ^$ ; cas de l'équateur.
Q24. Composantes de $F_{c}$ en fonction de $u$ , $v$ (composantes de $u$ sur $e_{x}$ , $e_{y}$ ) et $f$ .
Q25. Avec $h = H + η$ , $∣ η ∣ ≪ H$ , et $u$ , $v$ petits, écrire le système linéarisé en $η$ , $u$ , $v$ (termes dus au repère mobile négligés).

Hypothèse de Kelvin : océan localement plan, $f = f_{0}$ constant. On cherche $Ψ = (η, u, v)^{T}$ sous la forme $Ψ = Ψ_{0} e^{i (k_{x} x + k_{y} y - ω t)}$ .
Q26. Montrer que $M Ψ_{0} = ω Ψ_{0}$ et expliciter $M$ en fonction de $k_{x}$ , $k_{y}$ , $H$ , $g$ , $f_{0}$ .
Q27. Relation de dispersion.
Q28. Vitesse $c$ des ondes de haute fréquence.
Q29. Tracer les trois branches pour $k_{y} = 0$ dans le plan $(k_{x}, ω)$ , fréquences négatives comprises, pour $f_{0} = 1$ , $0$ et $- 1$ .
Q30. Gammes de pulsations des bandes interdites.

Les branches non constantes, notées $(-)$ et $(+)$ , sont les modes de Poincaré ; la branche plate $(0)$ est le mode géostrophique. Leurs invariants topologiques valent ${C^{(-)}, C^{(0)}, C^{(+)}} = {2, 0, - 2} \times signe (f_{0})$ .

Corrigé

Q22. Ce sont les équations de Saint-Venant (shallow water) :

la première est l'équation locale de conservation de la masse (équation de continuité) pour une couche de fluide incompressible : $h u$ est le débit volumique horizontal par unité de largeur, et la hauteur d'une colonne ne varie que si ce débit a une divergence non nulle ;
la seconde est l'équation d'Euler (principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide parfait), écrite dans le référentiel terrestre non galiléen (d'où la force d'inertie de Coriolis $F_{c}$ , par unité de masse), le membre de gauche étant l'accélération particulaire $D u / D t$ . La pression y est hydrostatique, $p = p_{0} + ρ g (h - z)$ , si bien que $- \frac{1}{ρ} grad p = - g grad h$ .

Q23. $Ω$ est porté par l'axe des pôles ; la verticale locale $e_{z}$ fait avec cet axe l'angle $\frac{π}{2} - ℓ^$ (colatitude). Donc

$f = 2 Ω \cdot e_{z} = 2 Ω sin ℓ^.$

$f > 0$ dans l'hémisphère nord, $f < 0$ dans l'hémisphère sud. À l'équateur, $ℓ^= 0$ et $f = 0$ : $Ω$ y est horizontal, la force de Coriolis n'a plus de composante horizontale due aux mouvements horizontaux, et $f$ change de signe à la traversée de l'équateur. Ordre de grandeur : $Ω = 2 π / (86164 s) ≃ 7, 3 \times 1 0^{- 5} rad \cdot s^{- 1}$ , d'où $f ≃ 1, 0 \times 1 0^{- 4} s^{- 1}$ à $4 5^{\circ}$ de latitude.

Q24. Avec $u = u e_{x} + v e_{y}$ , $e_{z} \land u = u e_{y} - v e_{x}$ , donc

$F_{c} = - f e_{z} \land u = f v e_{x} - f u e_{y} + 0 e_{z} .$

Contrôle : dans l'hémisphère nord ( $f > 0$ ), un courant vers l'est ( $u > 0$ , $v = 0$ ) subit une force vers le sud ( $- f u e_{y}$ ), c'est-à-dire vers sa droite, comme il se doit. La force est orthogonale à $u$ : elle ne travaille pas.

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