Corrigé X-ENS 2026 Physique B PC — Partie II.3 (Q31 à Q36) : Ondes équatoriales : Kelvin et Yanai comme modes topologiques, ondes de Rossby, El Niño

Q31. Loin de l'équateur (à quelques rayons de déformation), $f=\beta y$ varie peu sur une longueur d'onde : chaque hémisphère se comporte localement comme le milieu homogène de l'hypothèse de Kelvin, avec $f_0>0$ au nord et $f_0<0$ au sud. Les deux milieux ont le même spectre (Q29 : il ne dépend que de $f_0^2$), avec les mêmes bandes interdites $0<\left|\omega \right|<\left|f_0\right|$, mais des invariants opposés : ${\mathcal{C}}^{(+)}=-2$ au nord et $+2$ au sud (et l'inverse pour ${\mathcal{C}}^{(-)}$). On ne peut passer continûment de l'un à l'autre qu'en fermant les bandes interdites, ce qui se produit exactement sur l'équateur où $f=0$ (Q29, cas $f_0=0$). L'équateur joue donc le rôle de la jonction entre la chaîne SSH « triviale » et la chaîne « topologique » (Q20).

Conséquence (correspondance volume--interface) : comme en Q20, des modes piégés à l'équateur doivent exister, dont les pulsations traversent les bandes interdites des deux hémisphères ; leur nombre est fixé par la différence des invariants, et leur existence ne dépend ni du profil exact de $f(y)$ ni des détails du bassin : ce sont des ondes équatoriales topologiquement protégées.

Q32. La dépendance en $x$ et $t$ reste exponentielle (${\partial }_x\to \mathrm{i}{k}_x$, ${\partial }_t\to -\mathrm{i}\omega$), mais ${\partial }_y$ reste un opérateur et $f=\beta y$ dépend de $y$. En reprenant les trois équations de Q25 comme en Q26 :

$$\omega \eta =H{k}_{x}u-\mathrm{i}H\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y},\omega u=g{k}_x\eta +\mathrm{i}\beta yv,\omega v=-\mathrm{i}g\frac{\mathrm{d}\eta }{\mathrm{d}y}-\mathrm{i}\beta yu,$$

soit $\mathbf{M}(y)\underline{\Psi }(y)=\omega \underline{\Psi }(y)$ avec l'opérateur

$$\mathbf{M}(y)=\left(\begin{array}{ccc}0& H{k}_x& -\mathrm{i}H\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\\ g{k}_x& 0& \mathrm{i}\beta y\\ -\mathrm{i}g\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}& -\mathrm{i}\beta y& 0\end{array}\right).$$

C'est $\mathbf{M}$ de Q26 avec $k_y\to -\mathrm{i}\mathrm{d}/\mathrm{d}y$ et $f_0\to \beta y$. On cherche maintenant des fonctions propres $\underline{\Psi }(y)$ bornées (qui tendent vers $0$ loin de l'équateur) : c'est un problème aux valeurs propres différentiel, analogue à l'oscillateur harmonique quantique, d'où la quantification par l'entier $n$ chez Matsuno.

Q33. Sur la figure 6, les bandes interdites du modèle de Kelvin correspondent aux intervalles entre la bande plate (autour de $\omega =0$, où se trouvent les ondes de Rossby, simples déformations de la branche géostrophique $(0)$) et les bandes de Poincaré $(\pm )$ (tirets, $\left|\omega \right|\ge \sqrt{3}\sqrt{\beta c}$). Suivons les courbes quand $k_x$ croît de $-\infty$ à $+\infty$ :