Corrigé X-ENS 2026 Physique MPI — Partie I (Q1 à Q4) : Orbite de Didymos : planéité, demi-grand axe, troisième loi de Kepler

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mission DART : dévier par percussion l'astéroïde Dimorphos, satellite de l'astéroïde Didymos. Dans tout le problème, la Terre décrit autour du Soleil un cercle de rayon $r_{0} = 150 \times 1 0^{6} km$ (unité astronomique, UA) à la vitesse $v_{0} = 30 km \cdot s^{- 1}$ ; l'orbite de Didymos est dans le même plan et parcourue dans le même sens. Calculatrice interdite. La figure 1 donne la distance Terre--Didymos de 2000 à 2050 (tracé reconstitué, valeurs lues sur la figure du sujet).

{Figure 1 — Distance Terre--Didymos (en UA) entre 2000 et 2050.}

Q1. En vertu de quel principe le mouvement d'un astre attiré par le Soleil est-il plan, dans un plan contenant le Soleil ?
Q2. Le périhélie de Didymos est à $r_{min} = 1, 01 r_{0}$ . Estimer, grâce à la figure 1, le demi-grand axe de son orbite.
Q3. En déduire une estimation de la période $T$ de révolution de Didymos, en années.
Q4. Valider cette estimation de $T$ à l'aide de la figure 1.

Corrigé

Q1. Système : l'astre (point matériel $M$ de masse $m$ ), dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, soumis à la seule force de gravitation du Soleil $S$ , force centrale (portée par $S M$ ). Le théorème du moment cinétique en $S$ (point fixe) donne

$\frac{d L _{S}}{d t} = S M \land F = 0,$

donc le moment cinétique $L_{S} = S M \land m v$ se conserve. Si $L_{S} \neq = 0$ , $S M$ reste à chaque instant orthogonal au vecteur fixe $L_{S}$ : le mouvement a lieu dans le plan passant par $S$ et orthogonal à $L_{S}$ . (Si $L_{S} = 0$ , le mouvement est rectiligne sur une droite passant par $S$ , cas dégénéré.)

Ce que le correcteur attend : le nom du principe (conservation du moment cinétique, conséquence du caractère central de la force), pas seulement « la force est centrale ».

Q2. La distance Terre--Didymos est maximale lorsque les deux astres sont de part et d'autre du Soleil, alignés avec lui, et Didymos à son aphélie : $d_{max} = r_{max} + r_{0}$ . La figure 1 donne $d_{max} ≃ 3, 25 UA$ (les plus hauts maxima plafonnent à cette valeur), d'où

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