Corrigé X-ENS 2026 Physique MPI — Partie II (première méthode) (Q5 à Q14) : Orbite de DART : impulsion radiale, énergie potentielle effective, petites oscillations

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Données : la Terre décrit autour du Soleil (masse $M_{⊙}$ ) un cercle de rayon $r_{0} = 150 \times 1 0^{6} km$ à la vitesse $v_{0} = 30 km \cdot s^{- 1}$ . L'engin DART, de masse $m$ , échappe à l'attraction terrestre et n'est plus soumis qu'à celle du Soleil. On lui communique ensuite, pendant un bref instant, une impulsion parallèle à la direction du Soleil : il acquiert une vitesse radiale $v_{1}$ ( $∣ v_{1} ∣ ≪ v_{0}$ ), sa vitesse orthoradiale étant inchangée ; sa trajectoire devient elliptique.

Q5. DART est d'abord placé sur l'orbite de la Terre : quelle est sa vitesse autour du Soleil ?
Q6. Variation de son moment cinétique par rapport au Soleil lors de l'impulsion ?
Q7. Variation de son énergie mécanique ? En déduire la variation du demi-grand axe au premier ordre en $∣ v_{1} ∣ / v_{0}$ .
Q8. Établir l'énergie potentielle effective $E_{p, eff} (r)$ du mouvement radial, en fonction de $m$ , $r_{0}$ , $v_{0}$ et $r$ .
Q9. Comment retrouve-t-on, à partir de $E_{p, eff}$ , le rayon de l'orbite circulaire ? Le vérifier.
Q10. Pour $r (t) = r_{0} + r_{1} (t)$ avec $∣ r_{1} ∣ ≪ r_{0}$ , déterminer la pulsation $ω$ des petites oscillations radiales en fonction de $r_{0}$ et $v_{0}$ .
Q11. On veut que l'aphélie de DART coïncide avec le périhélie de Didymos ( $r_{min} = 1, 01 r_{0}$ ) : l'approximation de Q10 est-elle valable ?
Q12. À l'aide de $r_{1} (t)$ , calculer $∣ v_{1} ∣$ .
Q13. Période de l'orbite elliptique de DART ? Comment l'obtenir sans calcul ?
Q14. L'impulsion est donnée le 24 décembre 2021, l'impact a lieu le 26 septembre 2022, trois quarts d'année plus tard. L'impulsion était-elle dirigée vers le Soleil ou dans le sens opposé ?

Corrigé

Dans toute la partie : système DART (point matériel de masse $m$ ), référentiel héliocentrique supposé galiléen, seule force la gravitation solaire $F = - \frac{G M _{⊙} m}{r ^{2}} e_{r}$ , force centrale conservative d'énergie potentielle $E_{p} = - \frac{G M _{⊙} m}{r}$ .

Q5. Sur une orbite circulaire de rayon $r_{0}$ , le mouvement est uniforme et l'accélération est centripète, $a = - \frac{v ^{2}}{r _{0}} e_{r}$ . Le principe fondamental de la dynamique projeté sur $e_{r}$ donne

$m \frac{v ^{2}}{r _{0}} = \frac{G M _{⊙} m}{r _{0}^{2}} ⟹ v = \frac{G M _{⊙}}{r _{0}} .$

Cette vitesse ne dépend pas de la masse de l'objet : c'est celle de la Terre, $v = v_{0} = 30 km \cdot s^{- 1}$ . On retiendra la relation utile pour la suite

$G M_{⊙} = r_{0} v_{0}^{2} .$

Q6. Le moment cinétique en $S$ vaut $L = S M \land m v = m r e_{r} \land (r ˙ e_{r} + r θ ˙ e_{θ}) = m r^{2} θ ˙ e_{z}$ : seule la vitesse orthoradiale $v_{θ} = r θ ˙$ y contribue. L'impulsion ne modifie ni la position (elle est brève) ni $v_{θ}$ ; donc

$Δ L = 0, L = m r_{0} v_{0} (inchang e ˊ) .$

Autre lecture : la force de poussée est radiale, son moment en $S$ est nul (théorème du moment cinétique).

Q7. L'énergie potentielle ne change pas (position inchangée) ; l'énergie cinétique passe de $\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ à $\frac{1}{2} m (v_{0}^{2} + v_{1}^{2})$ :

$Δ E_{m} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} > 0.$

Pour une orbite elliptique de demi-grand axe $a$ , $E_{m} = - \frac{G M _{⊙} m}{2 a} = - \frac{m r _{0} v _{0}^{2}}{2 a}$ . Avant : $a = r_{0}$ , $E_{m} = - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ . Après :

$- \frac{m r _{0} v _{0}^{2}}{2 a ^{'}} = - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} m v_{1}^{2} ⟹ a^{'} = \frac{r _{0}}{1 - v _{1}^{2} / v _{0}^{2}} ≃ r_{0} (1 + \frac{v _{1}^{2}}{v _{0}^{2}}) .$

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