Corrigé X-ENS 2026 Physique MPI — Partie II (seconde méthode) (Q15 à Q21) : Orbite de DART : vecteur de Hamilton et constantes du mouvement

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes notations qu'aux questions précédentes : Soleil de masse $M_{⊙}$ , orbite terrestre circulaire de rayon $r_{0}$ parcourue à $v_{0}$ , engin DART de masse $m$ recevant une vitesse radiale $v_{1}$ ( $∣ v_{1} ∣ ≪ v_{0}$ ) sans changement de sa vitesse orthoradiale. Un point du plan de la trajectoire est repéré par ses coordonnées polaires $(r, θ)$ centrées sur le Soleil, de base $(e_{r}, e_{θ})$ . On définit $T = v - B e_{θ}$ , où $v$ est la vitesse et $B$ une constante.

Q15. Montrer que, pour une trajectoire donnée, une valeur de $B$ rend $T$ constant ; l'exprimer à l'aide du moment cinétique.
Q16. Déterminer $B$ et $T$ pour l'orbite circulaire de rayon $r_{0}$ .
Q17. Dessiner une orbite elliptique (position du Soleil, sens de parcours). Selon quel axe de l'ellipse $T$ est-il dirigé ? Préciser son sens.
Q18. Pour l'orbite elliptique de DART après l'impulsion, exprimer $B$ et $T$ en fonction de $v_{0}$ et $v_{1}$ .
Q19. Vitesse de DART au périhélie et à l'aphélie en fonction de $v_{0}$ et $v_{1}$ ?
Q20. Quelle constante du mouvement relie vitesse et distance au Soleil en ces deux points ? En déduire la distance à l'aphélie en fonction de $r_{0}$ , $v_{0}$ et $v_{1}$ .
Q21. Vérifier qu'on retrouve le résultat de Q12 lorsque $∣ v_{1} ∣ ≪ v_{0}$ .

Corrigé

Référentiel héliocentrique galiléen ; DART soumis à la seule attraction solaire. On oriente $e_{z}$ selon le moment cinétique, de sorte que $θ ˙ > 0$ ; la constante des aires est $C = r^{2} θ ˙ = L / m > 0$ (conservation du moment cinétique, force centrale).

Q15. Dérivons $T$ par rapport au temps. Le principe fondamental de la dynamique donne $\frac{d v}{d t} = - \frac{G M _{⊙}}{r ^{2}} e_{r}$ , et la base polaire tourne : $\frac{d e _{θ}}{d t} = - θ ˙ e_{r}$ . Pour $B$ constant :

$\frac{d T}{d t} = - \frac{G M _{⊙}}{r ^{2}} e_{r} + B θ ˙ e_{r} = (B θ ˙ - \frac{G M _{⊙}}{r ^{2}}) e_{r} .$

$T$ est constant si et seulement si $B = \frac{G M _{⊙}}{r ^{2} θ ˙} = \frac{G M _{⊙}}{C}$ à chaque instant ; c'est possible car $C = r^{2} θ ˙$ est une constante du mouvement. D'où

$B = \frac{G M _{⊙}}{C} = \frac{G M _{⊙} m}{L}$

avec $L = m r^{2} θ ˙$ le moment cinétique en $S$ ; avec cette valeur, $T$ est un vecteur constant de la trajectoire (vecteur de Hamilton : l'hodographe $v (t) = T + B e_{θ}$ est un cercle de rayon $B$ ).

Q16. Orbite circulaire : $L = m r_{0} v_{0}$ , donc $B = \frac{G M _{⊙}}{r _{0} v _{0}} = \frac{r _{0} v _{0}^{2}}{r _{0} v _{0}} = v_{0}$ (avec $G M_{⊙} = r_{0} v_{0}^{2}$ , Q5). La vitesse est $v = v_{0} e_{θ}$ , d'où

$B = v_{0}, T = 0 .$

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