Corrigé X-ENS 2026 Physique MPI — Partie III (Q22 à Q31) : Moteur ionique : charge d'espace, poussée maximale, loi de Child-Langmuir

Sujet officiel du concours X-ENS, session 2026, épreuve Physique MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La modification d'orbite (vitesse radiale $∣ v_{1} ∣$ de Q12) est confiée à un moteur ionique, qui accélère des ions par un champ électrique.

Q22. La force du moteur vaut $F = 0, 2 N$ , la masse de l'engin $M = 600 kg$ . Combien de jours faut-il faire fonctionner le moteur ( $1 jour ≃ 9 \times 1 0^{4} s$ ) ? À quelle durée la comparer ? L'impulsion est-elle « brève » ?

Modèle (régime stationnaire, géométrie du condensateur plan) : deux grilles de surface $S$ , en $x = 0$ et $x = d$ , aux potentiels $V (0) = 0$ et $V (d) = V_{0} < 0$ (trous ignorés). Des ions de masse $m$ et de charge $e > 0$ entrent en $x = 0$ , uniformément répartis, avec une vitesse négligeable, sont accélérés entre les grilles, ressortent en $x = d$ , sont neutralisés sans changement de vitesse et éjectés. Notations : $V (x)$ , $E (x)$ (composante selon $x$ du champ), $ρ (x)$ (densité volumique de charge), $v (x)$ (vitesse des ions).

Q23. Justifier que la densité de courant $j$ ne dépend pas de $x$ ; relier $j$ à $ρ (x)$ et $v (x)$ .
Q24. Relation entre $v (x)$ , $V (x)$ , $e$ et $m$ .
Q25. Exprimer la quantité de mouvement $F (x)$ traversant $S$ par unité de temps en fonction de $S$ , $j$ , $m$ , $e$ , $v (x)$ . Que vaut $F (0)$ ? Justifier que la poussée est $F (d)$ ; son sens ?
Q26. À partir de Q24, exprimer $v^{'} (x)$ en fonction de $m$ , $e$ , $E (x)$ , $v (x)$ .
Q27. Montrer que $Q = \frac{1}{2} ε_{0} E (x)^{2} - F (x) / S$ ne dépend pas de $x$ . Son signe ?
Q28. Le champ ne peut dépasser $E_{max}$ (claquage). Montrer que la poussée maximale est atteinte pour $Q = 0$ et l'exprimer en fonction de $ε_{0}$ , $E_{max}$ , $S$ .
Q29. Pour $Q = 0$ , récrire Q27 comme une équation différentielle en $V (x)$ (avec Q24 et Q25).
Q30. Montrer que $V (x) = V_{0} (x / d)^{β}$ et déterminer $β$ .
Q31. Tracer l'allure de $V (x)$ , et sur le même graphique le cas d'un condensateur plan vide de charges.

Corrigé

Q22. D'après Q12, le moteur doit communiquer à l'engin la variation de vitesse $Δ v = ∣ v_{1} ∣ = 300 m \cdot s^{- 1}$ . Théorème de la quantité de mouvement appliqué à l'engin (masse $M$ quasi constante, la masse d'ions éjectée étant faible), la force $F$ gardant une direction fixe (radiale) pendant la poussée : $M Δ v = F Δ t$ , d'où

$Δ t = \frac{M ∣ v _{1} ∣}{F} = \frac{600 \times 300}{0 , 2} = 9 \times 1 0^{5} s ≃ 10 jours .$

Cette durée se compare à la durée caractéristique du mouvement orbital, la période $T^{'} = 2 π r_{0} / v_{0} = 1 an ≃ 365 jours$ (ou $1/ ω ≃ 58 jours$ ). Pendant la poussée, l'engin ne parcourt que $10/365 ≃ 3%$ de son orbite (environ $1 0^{\circ}$ ), et sa position radiale varie de $\sim ∣ v_{1} ∣ Δ t /2 ≃ 1, 4 \times 1 0^{8} m ≃ 1 0^{- 3} r_{0}$ , négligeable devant l'amplitude visée $0, 01 r_{0}$ : on peut, en première approximation, qualifier l'impulsion de brève ( $Δ t ≪ T^{'}$ ), même si l'approximation est moins bonne que pour un moteur chimique.

Q23. Conservation de la charge, équation locale à une dimension : $\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0$ . En régime stationnaire, $\partial ρ / \partial t = 0$ , donc $d j / d x = 0$ : $j$ est uniforme (le même courant $I = j S$ traverse toute section). Les porteurs de charge sont les ions, de vitesse $v (x) e_{x}$ :

$j = ρ (x) v (x) .$

Q24. Système : un ion, dans le référentiel de l'engin (supposé galiléen pendant la traversée), soumis à la seule force électrique $e E$ , conservative d'énergie potentielle $e V$ (poids et interactions autres négligés). Conservation de l'énergie mécanique entre $x = 0$ ( $v = 0$ , $V = 0$ ) et $x$ :

$\frac{1}{2} m v (x)^{2} + e V (x) = 0 ⟹ v (x) = - \frac{2 e V ( x )}{m},$

bien défini car $V (x) ⩽ 0$ : l'ion positif « descend » le potentiel, de $0$ à $V_{0} < 0$ .

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