Corrigé X-ENS 2026 Physique MPI — Partie IV (Q32 à Q35) : Astéroïde double : courbe de lumière, masse volumique de Didymos, effet de l'impact

Depuis la Terre, Didymos et son satellite Dimorphos (noté S) ne forment qu'un point lumineux, qui renvoie une partie de la lumière solaire. Sa luminosité (figure 2, données cumulées sur plusieurs révolutions, temps en unités de la période de révolution de S) est maximale quand les deux corps sont éclairés, ce qui est le cas la plupart du temps. Premier creux : S passe devant Didymos (il en masque une partie et y porte son ombre, d'où la dispersion des observations). Second creux : S passe derrière Didymos, on ne voit plus que la lumière de Didymos. Modèle : sphères homogènes de rayons $R_1$ (Didymos) et $R_2$ (S), de masses volumiques ${\rho }_1$ et ${\rho }_2$ ; orbite de S circulaire de rayon $D$, dans le plan des orbites de la Terre et de Didymos ; luminosité proportionnelle à la surface éclairée.

{Figure 2 — Magnitude apparente du système double (axe vertical inversé : la luminosité baisse vers le bas) au cours d'une période de révolution de S ; tracé reconstitué d'après le sujet. Creux 1 entre $0,19$ et $0,32$ (jusqu'à $18,28$ pour certaines séries) ; creux 2 à fond plat, $18,20$, entre $0,71$ et $0,80$ (bords : $0,69$ et $0,82$).}

Q32. Lors du second creux, la luminosité baisse de $4\%$ : estimer $R_2/R_1$.
Q33. Estimer $R_1/D$. Dessiner l'astéroïde double à l'échelle.
Q34. Montrer qu'on peut déduire ${\rho }_1$ de l'intervalle de temps entre les deux creux.
Q35. Dans un référentiel galiléen où Didymos est immobile à l'impact, la vitesse de DART est parallèle à celle de S, dont la direction n'est pas déviée. Après l'impact, la période de révolution de S a augmenté de $4,8\%$. En déduire la variation relative du demi-grand axe, puis, par l'énergie mécanique, la variation relative de la vitesse de S juste après l'impact. Dans quel sens l'impact a-t-il eu lieu par rapport au mouvement de S ?