Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Choix de plats au restaurant universitaire

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

• Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est 0,9.
• Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est 0,7.

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ l'événement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n^{\text{e}}$ jour » et $p_n$ la probabilité de $V_n$.

Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1=1$.

1. a. Indiquer la valeur de $p_2$.

b. Montrer que $p_3=0,88$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

c. Sachant que le $3^{\text{e}}$ jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

3. Justifier que, pour tout entier naturel $n⩾1$, $p_{n+1}=0,2p_n+0,7$.

4. On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $(p_n)$ pour $n⩾1$.

Pour cela, on utilise une fonction repas programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous.

Programme 1 :

def repas(n):
    p=1
    L=[p]
    for k in range(1,n):
        p = 0.2*p+0.7
        L.append(p)
    return(L)

Programme 2 :

def repas(n):
    p=1
    L=[p]
    for k in range(1,n+1):
        p = 0.2*p+0.7
        L.append(p)
    return(L)

Programme 3 :

def repas(n):
    p=1
    L=[p]
    for k in range(1,n):
        p=0.2*p+0.7
        L.append(p+1)
    return(L)

a. Lequel de ces programmes permet d'afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$ ? Aucune justification n'est attendue.

b. Avec le programme choisi à la question a., donner le résultat affiché pour $n=5$.

5. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n⩾1$, $p_n=0,125\times 0,2^{n-1}+0,875$.

6. En déduire la limite de la suite $(p_n)$.