Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Choix de plats au restaurant universitaire

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est 0,9.
Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est 0,7.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $V_{n}$ l'événement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n^{e}$ jour » et $p_{n}$ la probabilité de $V_{n}$ .

Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_{1} = 1$ .

1. a. Indiquer la valeur de $p_{2}$ .

b. Montrer que $p_{3} = 0, 88$ . On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

c. Sachant que le $3^{e}$ jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ? On arrondira le résultat à $1 0^{- 2}$ .

2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

3. Justifier que, pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , $p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 7$ .

4. On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $(p_{n})$ pour $n ⩾ 1$ .

Pour cela, on utilise une fonction repas programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous.

Programme 1 :

def repas(n):
    p=1
    L=[p]
    for k in range(1,n):
        p = 0.2*p+0.7
        L.append(p)
    return(L)

Programme 2 :

def repas(n):
    p=1
    L=[p]
    for k in range(1,n+1):
        p = 0.2*p+0.7
        L.append(p)
    return(L)

Programme 3 :

def repas(n):
    p=1
    L=[p]
    for k in range(1,n):
        p=0.2*p+0.7
        L.append(p+1)
    return(L)

a. Lequel de ces programmes permet d'afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_{n})$ ? Aucune justification n'est attendue.

b. Avec le programme choisi à la question a., donner le résultat affiché pour $n = 5$ .

5. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , $p_{n} = 0, 125 \times 0, 2^{n - 1} + 0, 875$ .

6. En déduire la limite de la suite $(p_{n})$ .

Corrigé

1. a. Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est 0,9. Or $p_{1} = 1$ , donc $p_{2} = 0, 9 .$

b. $p_{3} = P (V_{3})$ . On représente la situation par un arbre pondéré. ${V_{2}; V_{2}}$ forme une partition donc, d'après la formule des probabilités totales : $p_{3} = P (V_{3}) = P (V_{2} \cap V_{3}) + P (V_{2} \cap V_{3}) = P (V_{2}) \times P_{V_{2}} (V_{3}) + P (V_{2}) \times P_{V_{2}} (V_{3})$ $= 0, 9 \times 0, 9 + 0, 1 \times 0, 7 = 0, 88 .$

c. $P_{V_{3}} (V_{2}) = \frac{P ( V _{2} \cap V _{3} )}{P ( V _{3} )} = \frac{0 , 1 \times 0 , 7}{0 , 88} = \frac{7}{88} \approx 0, 08$ au centième près.

2. On complète l'arbre pondéré.

(figure : depuis $V_{n}$ — atteint avec la probabilité $p_{n}$ — les branches valent $0, 9$ vers $V_{n + 1}$ et $0, 1$ vers $V_{n + 1}$ ; depuis $V_{n}$ — atteint avec la probabilité $1 - p_{n}$ — les branches valent $0, 7$ vers $V_{n + 1}$ et $0, 3$ vers $V_{n + 1}$ .)

3. ${V_{n}; V_{n}}$ forme une partition donc, d'après la formule des probabilités totales : $p_{n + 1} = P (V_{n + 1}) = P (V_{n} \cap V_{n + 1}) + P (V_{n} \cap V_{n + 1}) = P (V_{n}) \times P_{V_{n}} (V_{n + 1}) + P (V_{n}) \times P_{V_{n}} (V_{n + 1})$ $= p_{n} \times 0, 9 + (1 - p_{n}) \times 0, 7 = 0, 9 p_{n} + 0, 7 - 0, 7 p_{n} = 0, 2 p_{n} + 0, 7 .$

4. a. Le programme qui permet d'afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_{n})$ est le $n^{\circ} 1$ .

En effet, le $n^{\circ} 2$ donne $n + 1$ termes, et le $n^{\circ} 3$ donne des valeurs supérieures à 1.

b. Avec le programme $n^{\circ} 1$ , le résultat affiché pour $n = 5$ sera la liste $[p_{1}; p_{2}; p_{3}; p_{4}; p_{5}]$ .

$p_{1} = 1$ ; $p_{2} = 0, 9$ ; $p_{3} = 0, 88$ ; $p_{4} = 0, 2 p_{3} + 0, 7 = 0, 2 \times 0, 88 + 0, 7 = 0, 876$ et $p_{5} = 0, 2 p_{4} + 0, 7 = 0, 2 \times 0, 876 + 0, 7 = 0, 8752$ .

Le résultat affiché par repas(5) sera donc : $[1; 0, 9; 0, 88; 0, 876; 0, 8752] .$

5. On va démontrer par récurrence que $p_{n} = 0, 125 \times 0, 2^{n - 1} + 0, 875$ , pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ .

Initialisation : Pour $n = 1$ , on a $0, 125 \times 0, 2^{1 - 1} + 0, 875 = 0, 125 + 0, 875 = 1$ . Or $p_{1} = 1$ , donc la propriété est vraie pour $n = 1$ .

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ , c'est-à-dire que $p_{n} = 0, 125 \times 0, 2^{n - 1} + 0, 875$ , c'est l'hypothèse de récurrence. $p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 7 = 0, 2 (0, 125 \times 0, 2^{n - 1} + 0, 875) + 0, 7$ $= 0, 125 \times 0, 2^{n} + 0, 2 \times 0, 875 + 0, 7 = 0, 125 \times 0, 2^{n} + 0, 175 + 0, 7 = 0, 125 \times 0, 2^{n} + 0, 875.$ La propriété est donc vraie au rang $n + 1$ .

Conclusion : La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire pour tout $n ⩾ 1$ ; d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier $n$ non nul.

On a donc démontré par récurrence que $p_{n} = 0, 125 \times 0, 2^{n - 1} + 0, 875$ pour tout $n ⩾ 1$ .

6. Comme $- 1 < 0, 2 < 1$ , on a $n \to + \infty lim 0, 2^{n - 1} = 0$ , donc $n \to + \infty lim (0, 125 \times 0, 2^{n - 1} + 0, 875) = 0, 875$ .

La limite de la suite $(p_{n})$ est donc $n \to + \infty lim p_{n} = 0, 875 .$

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