Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Connexions, arbre pondéré et loi binomiale

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Travailler ce sujet sur Adloun Sujet officiel (PDF) Corrigé complet (PDF)

Énoncé

EXERCICE 1 (6 points)

Pour accéder au réseau privé d'une entreprise depuis l'extérieur, les connexions des employés transitent aléatoirement via trois serveurs distants différents, notés A, B et C. Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante :

25 % des connexions transitent via le serveur A ;
15 % des connexions transitent via le serveur B ;
le reste des connexions s'effectue via le serveur C.

Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.).

On dira qu'une connexion est stable si l'utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs. L'équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d'un fonctionnement habituel des serveurs :

90 % des connexions via le serveur A sont stables ;
80 % des connexions via le serveur B sont stables ;
85 % des connexions via le serveur C sont stables.

Les parties A et B sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées séparément.

Partie A

On s'intéresse au hasard à l'état d'une connexion effectuée par un employé de l'entreprise. On considère les événements suivants :

$A$ : « La connexion s'est effectuée via le serveur A » ;
$B$ : « La connexion s'est effectuée via le serveur B » ;
$C$ : « La connexion s'est effectuée via le serveur C » ;
$S$ : « La connexion est stable ».

On note $S$ l'événement contraire de l'événement $S$ .

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation de l'énoncé.

2. Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à $0, 12$ .

3. Calculer la probabilité $P (C \cap S)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Démontrer que la probabilité de l'événement $S$ est $P (S) = 0, 855$ .

5. On suppose désormais que la connexion est stable. Calculer la probabilité que la connexion ait eu lieu depuis le serveur B. On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une connexion soit instable est égale à $0, 145$ .

1. Dans le but de détecter les dysfonctionnements de serveurs, on étudie un échantillon de 50 connexions au réseau, ces connexions étant choisies au hasard. On suppose que le nombre de connexions est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de connexions instables parmi les 50 connexions.

a. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

b. Donner la probabilité qu'au plus huit connexions soient instables sur les 50 connexions. On donnera la valeur arrondie au millième.

2. Dans cette question, on constitue désormais un échantillon de $n$ connexions, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif. On note $X_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de connexions instables et on admet que $X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $0, 145$ .

a. Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ qu'au moins une connexion de cet échantillon soit instable.

b. Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que la probabilité $p_{n}$ soit supérieure ou égale à $0, 99$ .

3. On s'intéresse à la variable aléatoire $F_{n}$ égale à la fréquence de connexions instables dans cet échantillon de $n$ connexions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On a donc $F_{n} = \frac{X _{n}}{n}$ , où $X_{n}$ est la variable aléatoire définie à la question 2.

a. Calculer l'espérance $E (F_{n})$ . On admet que $V (F_{n}) = \frac{0 , 123975}{n}$ .

b. Vérifier que : $P (∣ F_{n} - 0, 145∣ ⩾ 0, 1) ⩽ \frac{12 , 5}{n}$ .

c. Un responsable de l'entreprise étudie un échantillon de 1 000 connexions et constate que pour cet échantillon $F_{1000} = 0, 3$ . Il soupçonne un dysfonctionnement des serveurs. A-t-il raison ?

Corrigé

Partie A

1. Puisqu'on s'intéresse à une connexion au hasard, on est en situation d'équiprobabilité, et les proportions annoncées dans l'énoncé sont assimilables à des probabilités. Cela donne l'arbre pondéré ci-dessous :

(figure : arbre pondéré complété — $P (A) = 0, 25$ avec $P_{A} (S) = 0, 9$ et $P_{A} (S) = 0, 1$ ; $P (B) = 0, 15$ avec $P_{B} (S) = 0, 8$ et $P_{B} (S) = 0, 2$ ; $P (C) = 0, 6$ avec $P_{C} (S) = 0, 85$ et $P_{C} (S) = 0, 15$ )

2. La probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est $P (S \cap B)$ . $P (S \cap B) = P (B) \times P_{B} (S) = 0, 15 \times 0, 8 = 0, 12 .$

3. De même : $P (C \cap S) = P (C) \times P_{C} (S) = 0, 6 \times 0, 15 = 0, 09 .$ Cela signifie que 9 % des connexions à distance de l'entreprise sont des connexions transitant via le serveur C et qui sont instables.

4. Les événements $A$ , $B$ et $C$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : $P (S) = P (A) \times P_{A} (S) + P (B) \times P_{B} (S) + P (C) \times P_{C} (S) = 0, 25 \times 0, 9 + 0, 15 \times 0, 8 + 0, 6 \times 0, 85 = 0, 225 + 0, 12 + 0, 51 = 0, 855 .$ La probabilité de l'événement $S$ est donc bien $P (S) = 0, 855$ .

5. La probabilité demandée est $P_{S} (B)$ . Par définition : $P_{S} (B) = \frac{P ( S \cap B )}{P ( S )} = \frac{0 , 12}{0 , 855} = \frac{8}{57} \approx 0, 140 .$ La probabilité que la connexion ait transité par le serveur B, sachant qu'elle est stable, est d'environ $0, 140$ , au millième près.

Partie B

1. a. On admet que $X$ suit une loi binomiale ; on peut le justifier ainsi :

chaque connexion est vue comme une expérience aléatoire à deux issues : le succès « la connexion est instable », de probabilité $p = P (S) = 1 - 0, 855 = 0, 145$ ;
cette épreuve est répétée $n = 50$ fois, de façon supposée identique et indépendante, puisque la constitution de l'échantillon est réputée assimilable à un tirage avec remise ;
$X$ compte le nombre de succès, c'est-à-dire le nombre de connexions instables, sur ces 50 répétitions.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50 et p = 0, 145$ .

b. La probabilité qu'au plus huit connexions soient instables est $P (X ⩽ 8)$ . Avec la calculatrice, $P (X ⩽ 8) \approx 0, 704$ (arrondie au millième).

2. a. Puisque $X_{n}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0, 145$ , pour tout entier $k$ tel que $0 ⩽ k ⩽ n$ : $P (X_{n} = k) = (k n) \times 0, 14 5^{k} \times 0, 85 5^{n - k} .$ L'événement « au moins une connexion est instable » est le contraire de « aucune connexion n'est instable », c'est-à-dire ${X_{n} = 0}$ . Ainsi : $p_{n} = 1 - P (X_{n} = 0) = 1 - (0 n) \times 0, 14 5^{0} \times 0, 85 5^{n - 0} = 1 - 0, 85 5^{n} .$

b. Résolvons, pour $n$ entier naturel : $p_{n} ⩾ 0, 99 ⟺ 1 - 0, 85 5^{n} ⩾ 0, 99 ⟺ - 0, 85 5^{n} ⩾ - 0, 01 ⟺ 0, 85 5^{n} ⩽ 0, 01 ⟺ ln (0, 85 5^{n}) ⩽ ln (0, 01) car ln est croissante ⟺ n ln (0, 855) ⩽ ln (0, 01) ⟺ n ⩾ \frac{ln ( 0 , 01 )}{ln ( 0 , 855 )} car 0, 855 < 1 donc ln (0, 855) < 0.$ Or $\frac{ln ( 0 , 01 )}{ln ( 0 , 855 )} \approx 29, 4$ , donc c'est à partir de $n = 30$ que l'on a une probabilité $p_{n}$ supérieure ou égale à $0, 99$ .

3. a. Puisque $X_{n}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0, 145$ , son espérance est $E (X_{n}) = n p = 0, 145 n$ . Comme $F_{n} = \frac{1}{n} \times X_{n}$ , par linéarité de l'espérance : $E (F_{n}) = \frac{1}{n} E (X_{n}) = \frac{1}{n} \times 0, 145 n = 0, 145 .$ On admet que $V (F_{n}) = \frac{0 , 123975}{n}$ .

b. Écrivons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la moyenne empirique $F_{n}$ , avec $t = 0, 1$ : $P (∣ F_{n} - E (F_{n}) ∣ ⩾ t) ⩽ \frac{V ( F _{n} )}{t ^{2}} ⟹ P (∣ F_{n} - 0, 145∣ ⩾ 0, 1) ⩽ \frac{\frac{0 , 123975}{n}}{0 , 1 ^{2}} ⟹ P (∣ F_{n} - 0, 145∣ ⩾ 0, 1) ⩽ \frac{0 , 123975}{n} \times \frac{1}{0 , 01} ⟹ P (∣ F_{n} - 0, 145∣ ⩾ 0, 1) ⩽ \frac{12 , 3975}{n} ⟹ P (∣ F_{n} - 0, 145∣ ⩾ 0, 1) ⩽ \frac{12 , 5}{n} car 12, 3975 < 12, 5.$ On a donc bien l'inégalité annoncée.

c. Pour l'échantillon de 1 000 connexions, $F_{1000} = 0, 3$ et $0, 3 - 0, 145 = 0, 155 ⩾ 0, 1$ : cette situation se traduit par l'événement ${∣ F_{1000} - 0, 145∣ ⩾ 0, 1}$ . D'après la question précédente, la probabilité de cet événement est inférieure ou égale à $\frac{12 , 5}{1000} = 0, 0125$ : il est donc hautement probable que les serveurs dysfonctionnent, car si la modélisation (basée sur un fonctionnement normal des serveurs) est fiable, une telle fréquence est très peu probable. Le responsable a donc raison de s'inquiéter.

Poser une question au tuteur sur ce sujet