Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : El Niño : loi binomiale et suite récurrente

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l'ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Les scientifiques cherchent à modéliser l'apparition de ce phénomène.

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A — Premier modèle

À partir d'un échantillon de données, on considère une première modélisation :

chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à $0, 4$ ;
la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d'une année sur l'autre.

On note $X$ la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d'années où El Niño est dominant.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

2. a) Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.

2. b) Calculer $P (X ⩽ 2)$ . Que signifie ce résultat dans le contexte de l'exercice ?

3. Calculer $E (X)$ . Interpréter ce résultat.

Partie B — Second modèle

Après une étude d'un nouvel échantillon de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparaît plus pertinente :

si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est $0, 5$ ;
par contre, si le phénomène El Niño n'est pas dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit dominant l'année suivante est $0, 3$ .

On considère que l'année de référence est 2023.

On note pour tout entier naturel $n$ :

$E_{n}$ l'événement « le phénomène El Niño est dominant l'année $2023 + n$ » ;
$p_{n}$ la probabilité de l'événement $E_{n}$ .

En 2023, El Niño n'était pas dominant. On a ainsi $p_{0} = 0$ .

1. Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

2. Justifier que $p_{1} = 0, 3$ .

3. En vous aidant de l'arbre, montrer que pour tout entier naturel $n$ , on a : $p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 3$

On cherche à prévoir l'évolution de l'apparition du phénomène El Niño.

4. a) Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $(p_{n})$ .

4. b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , on a : $p_{n} ⩽ \frac{3}{8}$ .

4. c) Déterminer le sens de variation de la suite $(p_{n})$ .

4. d) En déduire la convergence de la suite $(p_{n})$ .

On cherche à déterminer la limite de la suite $(p_{n})$ .

5. Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n} = p_{n} - \frac{3}{8}$ pour tout entier naturel $n$ .

5. a) Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $0, 2$ et préciser son premier terme.

5. b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $p_{n} = \frac{3}{8} (1 - 0, 2^{n})$

5. c) Calculer la limite de la suite $(p_{n})$ .

5. d) Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Corrigé

Partie A

1. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès d'une répétition de 10 épreuves de Bernoulli. Les épreuves sont indépendantes deux à deux. La probabilité du succès est $p = 0, 4$ . Donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres $10; 0, 4$ : $X ↪ B (10; 0, 4)$ .

2. a) $P (X = 2) = (2 10) p^{2} (1 - p)^{10 - 2} = (2 10) \times 0, 4^{2} \times 0, 6^{8} \approx 0, 1209$

2. b) Comme les événements ${X = i}$ et ${X = j}$ sont disjoints pour $i \neq = j$ : $P (X ⩽ 2) = P ({X = 0} \cup {X = 1} \cup {X = 2}) = i = 0 \sum 2 P (X = i) = i = 0 \sum 2 (i 10) p^{i} (1 - p)^{10 - i} \approx 0, 1673$ La probabilité que le phénomène El Niño soit dominant au plus deux années sur une période de 10 ans est d'environ $0, 167$ .

3. Comme $X$ suit une loi binomiale $B (10; 0, 4)$ : $E (X) = n \times p = 10 \times 0, 4 = 4$ . En moyenne, le phénomène El Niño est dominant quatre années sur une période de 10 ans.

Partie B

1. (figure : arbre pondéré complété. Depuis $E_{n}$ (probabilité $p_{n}$ ) : $0, 5$ vers $E_{n + 1}$ et $0, 5$ vers $E_{n + 1}$ ; depuis $E_{n}$ (probabilité $1 - p_{n}$ ) : $0, 3$ vers $E_{n + 1}$ et $0, 7$ vers $E_{n + 1}$ .)

2. $p_{0} = 0$ donc $1 - p_{0} = 1$ . $p_{1} = P (E_{1}) = P (E_{0}) \times P_{E_{0}} (E_{1}) + P (E_{0}) \times P_{E_{0}} (E_{1}) = 0 \times 0, 5 + 1 \times 0, 3 = 0, 3$

3. $p_{n + 1} = P (E_{n + 1}) = P (E_{n}) \times P_{E_{n}} (E_{n + 1}) + P (E_{n}) \times P_{E_{n}} (E_{n + 1}) = p_{n} \times 0, 5 + (1 - p_{n}) \times 0, 3 = 0, 2 p_{n} + 0, 3$

4. a) En utilisant la calculatrice, la suite $(p_{n})$ semble être croissante et avoir pour limite $0, 375$ .

(figure : tableau de valeurs de $p_{n}$ : $p_{0} = 0$ , $p_{1} = 0, 3$ , $p_{2} = 0, 36$ , $p_{3} = 0, 372$ , …, $p_{13} \approx 0, 3749999996928$ , $p_{14} \approx 0, 37499999993856$ .)

4. b) On formule l'hypothèse de récurrence $H (n) : p_{n} ⩽ 0, 375$ .

On vérifie que $H (0)$ est vraie (initialisation). Comme $p_{0} = 0 ⩽ 0, 375$ , $H (0)$ est vraie.

Montrons que $H (n) \Rightarrow H (n + 1)$ (hérédité). On suppose que $H (n)$ est vraie, avec $n \in N$ . On a $p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 3$ . D'après $H (n)$ , $p_{n} ⩽ 0, 375$ , en multipliant par $0, 2$ on obtient : $0, 2 p_{n} ⩽ 0, 075$ , en ajoutant $0, 3$ on obtient : $0, 2 p_{n} + 0, 3 ⩽ 0, 375$ , donc $p_{n + 1} ⩽ 0, 375$ ( $H (n + 1)$ est vérifiée).

D'après le principe de récurrence, $\forall n \in N$ , $p_{n} ⩽ 0, 375$ .

4. c) Pour tout $n \in N$ , $p_{n}$ désignant une probabilité est un nombre positif. Soit $n \in N$ . $p_{n + 1} - p_{n} = - 0, 8 p_{n} + 0, 3 ⩾ - 0, 8 \times 0, 375 + 0, 3 ⩾ 0$ Ceci étant valable quel que soit le choix de $n$ , $\forall n \in N$ , $p_{n + 1} - p_{n} ⩾ 0$ , donc $(p_{n})$ est croissante.

4. d) $(p_{n})$ est croissante et majorée donc $(p_{n})$ est convergente vers $l$ . De plus $l ⩽ 0, 375$ .

5. a) $u_{n + 1} = p_{n + 1} - \frac{3}{8} = 0, 2 p_{n} + 0, 3 - \frac{3}{8} = 0, 2 p_{n} + 0, 2 \times \frac{3}{2} - 0, 2 \times \frac{15}{8} = 0, 2 p_{n} + 0, 2 \times (\frac{3}{2} - \frac{15}{8}) = 0, 2 p_{n} + 0, 2 \times (- \frac{3}{8}) = 0, 2 (p_{n} - \frac{3}{8})$ Finalement, quel que soit $n$ naturel, $u_{n + 1} = 0, 2 \times u_{n}$ : ceci prouve que $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $0, 2$ . Le premier terme est donné par $u_{0} = p_{0} - \frac{3}{8} = 0 - \frac{3}{8} = - \frac{3}{8}$ .

5. b) Comme $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $0, 2$ de premier terme $u_{0} = - \frac{3}{8}$ : $\forall n \in N : u_{n} = u_{0} \times 0, 2^{n} = - \frac{3}{8} \times 0, 2^{n}$ Comme $\forall n \in N : u_{n} = p_{n} - \frac{3}{8}$ , on a : $\forall n \in N : p_{n} = u_{n} + \frac{3}{8} = - \frac{3}{8} \times 0, 2^{n} + \frac{3}{8} = \frac{3}{8} (1 - 0, 2^{n})$

5. c) Comme $0, 2 < 1$ , $n \to + \infty lim 0, 2^{n} = 0$ et donc $n \to + \infty lim p_{n} = \frac{3}{8}$ .

5. d) La probabilité d'observer un phénomène El Niño dominant tend vers $\frac{3}{8}$ quand le nombre d'années d'observation augmente.

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