Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : El Niño : loi binomiale et suite récurrente

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l'ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Les scientifiques cherchent à modéliser l'apparition de ce phénomène.

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A — Premier modèle

À partir d'un échantillon de données, on considère une première modélisation :

chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à $0, 4$ ;
la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d'une année sur l'autre.

On note $X$ la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d'années où El Niño est dominant.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

2. a) Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.

2. b) Calculer $P (X ⩽ 2)$ . Que signifie ce résultat dans le contexte de l'exercice ?

3. Calculer $E (X)$ . Interpréter ce résultat.

Partie B — Second modèle

Après une étude d'un nouvel échantillon de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparaît plus pertinente :

si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est $0, 5$ ;
par contre, si le phénomène El Niño n'est pas dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit dominant l'année suivante est $0, 3$ .

On considère que l'année de référence est 2023.

On note pour tout entier naturel $n$ :

$E_{n}$ l'événement « le phénomène El Niño est dominant l'année $2023 + n$ » ;
$p_{n}$ la probabilité de l'événement $E_{n}$ .

En 2023, El Niño n'était pas dominant. On a ainsi $p_{0} = 0$ .

1. Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

2. Justifier que $p_{1} = 0, 3$ .

3. En vous aidant de l'arbre, montrer que pour tout entier naturel $n$ , on a : $p_{n + 1} = 0, 2 p_{n} + 0, 3$

On cherche à prévoir l'évolution de l'apparition du phénomène El Niño.

4. a) Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $(p_{n})$ .

4. b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , on a : $p_{n} ⩽ \frac{3}{8}$ .

4. c) Déterminer le sens de variation de la suite $(p_{n})$ .

4. d) En déduire la convergence de la suite $(p_{n})$ .

On cherche à déterminer la limite de la suite $(p_{n})$ .

5. Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n} = p_{n} - \frac{3}{8}$ pour tout entier naturel $n$ .

5. a) Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $0, 2$ et préciser son premier terme.

5. b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $p_{n} = \frac{3}{8} (1 - 0, 2^{n})$

5. c) Calculer la limite de la suite $(p_{n})$ .

5. d) Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Corrigé

Partie A

1. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès d'une répétition de 10 épreuves de Bernoulli. Les épreuves sont indépendantes deux à deux. La probabilité du succès est $p = 0, 4$ . Donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres $10; 0, 4$ : $X ↪ B (10; 0, 4)$ .

2. a) $P (X = 2) = (2 10) p^{2} (1 - p)^{10 - 2} = (2 10) \times 0, 4^{2} \times 0, 6^{8} \approx 0, 1209$

2. b) Comme les événements ${X = i}$ et ${X = j}$ sont disjoints pour $i \neq = j$ : $P (X ⩽ 2) = P ({X = 0} \cup {X = 1} \cup {X = 2}) = i = 0 \sum 2 P (X = i) = i = 0 \sum 2 (i 10) p^{i} (1 - p)^{10 - i} \approx 0, 1673$ La probabilité que le phénomène El Niño soit dominant au plus deux années sur une période de 10 ans est d'environ $0, 167$ .

3. Comme $X$ suit une loi binomiale $B (10; 0, 4)$ : $E (X) = n \times p = 10 \times 0, 4 = 4$ . En moyenne, le phénomène El Niño est dominant quatre années sur une période de 10 ans.

Partie B

1. (figure : arbre pondéré complété. Depuis $E_{n}$ (probabilité $p_{n}$ ) : $0, 5$ vers $E_{n + 1}$ et $0, 5$ vers $E_{n + 1}$ ; depuis $E_{n}$ (probabilité $1 - p_{n}$ ) : $0, 3$ vers $E_{n + 1}$ et $0, 7$ vers $E_{n + 1}$ .)

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