Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Équation différentielle et glycémie

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

5 points

Partie A

On considère l'équation différentielle

$(E) y^{'} + 0, 4 y = e^{- 0, 4 t}$

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ .

On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur $R$ qui sont solutions de cette équation.

1. Soit $u$ la fonction définie sur $R$ par : $u (t) = t e^{- 0, 4 t}$ .

Vérifier que $u$ est solution de $(E)$ .

2. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $R$ .

On note $g$ la fonction définie sur $R$ par : $g (t) = f (t) - u (t)$ .

Soit $(H)$ l'équation différentielle $y^{'} + 0, 4 y = 0$ .

a. Démontrer que si la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ alors la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ .

On admettra que la réciproque est vraie.

b. Résoudre l'équation différentielle $(H)$ .

c. En déduire les solutions de $(E)$ .

d. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f (0) = 1$ .

Partie B

On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas. La glycémie en $g \cdot L^{- 1}$ , en fonction du temps $t$ , exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0; 6]$ par :

$f (t) = (t + 1) e^{- 0, 4 t} .$

1. a. Montrer que, pour tout $t \in [0; 6]$ , $f^{'} (t) = (- 0, 4 t + 0, 6) e^{- 0, 4 t}$ .

b. Étudier les variations de $f$ sur $[0; 6]$ puis en dresser un tableau de variations sur cet intervalle.

2. Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à $0, 7 g \cdot L^{- 1}$ .

a. Démontrer que sur l'intervalle $[0; 6]$ l'équation $f (t) = 0, 7$ admet une unique solution que l'on notera $a$ .

b. Au bout de combien de temps après avoir pris un repas cette personne est-elle en hypoglycémie ?

On exprimera ce temps à la minute près.

3. On souhaite déterminer la glycémie moyenne en $g \cdot L^{- 1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.

a. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :

$\int_{0}^{6} f (t) d t = - 23, 75 e^{- 2, 4} + 8, 75.$

b. Calculer la glycémie moyenne en $g \cdot L^{- 1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.

c. En remarquant que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ , expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement.

Corrigé

Partie A

1. Dérivons la fonction $u$ : $\forall t \in R$ ,

$u^{'} (t) = 1 \times e^{- 0, 4 t} + t \times (- 0, 4) e^{- 0, 4 t} = e^{- 0, 4 t} - 0, 4 t e^{- 0, 4 t} = (1 - 0, 4 t) e^{- 0, 4 t} .$

Vérifions que $u$ est solution de $(E)$ : $\forall t \in R$ ,

$u^{'} (t) + 0, 4 u (t) = (1 - 0, 4 t) e^{- 0, 4 t} + 0, 4 \times t e^{- 0, 4 t} = e^{- 0, 4 t} - 0, 4 t e^{- 0, 4 t} + 0, 4 t e^{- 0, 4 t} = e^{- 0, 4 t} .$

Donc $u$ est bien solution de $(E)$ .

2. a. Soit $g = f - u$ solution de $(H)$ .

Comme $g$ est solution de $(H)$ , on a : $\forall t \in R$ , $g^{'} (t) + 0, 4 g (t) = 0$ . Or $g = f - u$ , donc $g^{'} = f^{'} - u^{'}$ . Ainsi : $\forall t \in R$ ,

$g^{'} (t) + 0, 4 g (t) = 0 ⟺ f^{'} (t) - u^{'} (t) + 0, 4 (f (t) - u (t)) = 0 ⟺ f^{'} (t) - u^{'} (t) + 0, 4 f (t) - 0, 4 u (t) = 0 ⟺ f^{'} (t) + 0, 4 f (t) = u^{'} (t) + 0, 4 u (t) ⟺ f^{'} (t) + 0, 4 f (t) = e^{- 0, 4 t} .$

La dernière équivalence se justifie car $u$ étant une solution particulière de $(E)$ , on a bien : $\forall t \in R$ , $u^{'} (t) + 0, 4 u (t) = e^{- 0, 4 t}$ , où $C \in R$ .

Donc $f$ est solution de $(E)$ .

b. L'équation $(H)$ : $y^{'} + 0, 4 y = 0$ est de la forme $y^{'} = - 0, 4 y$ .

Les solutions de $(H)$ sont de la forme : $g : t ⟼ C e^{- 0, 4 t}$ où $C \in R$ .

c. D'après les questions précédentes, $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g = f - u$ est solution de $(H)$ .

Donc si est seulement si on a : $\forall t \in R$ , $f (t) - u (t) = C e^{- 0, 4 t}$ où $C \in R$ .

Les solutions de $(E)$ sont les fonction $f$ telles que $f : t ⟼ t e^{- 0, 4 t} + C e^{- 0, 4 t}$ où $C \in R$ .

C'est-à-dire les fonction $f$ telles que $f : t ⟼ (t + C) e^{- 0, 4 t}$ où $C \in R$ .

d. Ici, on introduit une condition initiale, on veut avoir : $f (0) = 1$ .

$f (0) = 1 ⟺ (0 + C) e^{0} = 1 ⟺ C = 1.$

Donc la fonction $f$ cherchée est définie sur $R$ par : $f (t) = (t + 1) e^{- 0, 4 t}$ .

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