Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Étude d'une fonction avec exponentielle et calcul d'aire

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x e^{- x} + 2 x - 1.$ On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $R$ .

On appelle $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On note $f^{'}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ , et $f^{''}$ la fonction dérivée seconde de $f$ , c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f^{'}$ .

Partie A : Étude de la fonction $f$

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ .

2. Pour tout réel $x$ , calculer $f^{'} (x)$ .

3. Montrer que pour tout réel $x$ : $f^{''} (x) = (x - 2) e^{- x} .$

4. Étudier la convexité de la fonction $f$ .

5. Étudier les variations de la fonction $f^{'}$ sur $R$ , puis dresser un tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum.

Les limites de la fonction $f^{'}$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

6. En déduire le signe de la fonction $f^{'}$ sur $R$ , puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $R$ .

7. Justifier qu'il existe un unique réel $α$ tel que $f (α) = 0$ .

Donner un encadrement de $α$ , au centième près.

8. On considère la droite $Δ$ d'équation $y = 2 x - 1$ .

Étudier la position relative de la courbe $C_{f}$ par rapport à la droite $Δ$ .

Partie B : Calcul d'aire

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $D_{n}$ délimité par la courbe $C_{f}$ , la droite $Δ$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = n$ . On note $I_{n} = \int_{1}^{n} x e^{- x} d x .$

1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_{n}$ en fonction de $n$ .

2.a. Justifier que l'aire du domaine $D_{n}$ est $I_{n}$ .

2.b. Calculer la limite de l'aire du domaine $D_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .

Corrigé

Partie A : Étude de la fonction $f$

1. Déterminons la limite quand $x$ tend vers $- \infty$ :

$\forall x \in R$ , $f (x) = x (e^{- x} + 2) - 1$ .

Avec $y = - x$ , par composition, $x \to - \infty lim e^{- x} = y \to + \infty lim e^{y} = + \infty$ .

Donc, par limite de la somme : $x \to - \infty lim e^{- x} + 2 = + \infty$ .

Par limite du produit, il vient : $x \to - \infty lim x (e^{- x} + 2) = - \infty$ .

Enfin, par limite de la somme : $x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim x (e^{- x} + 2) - 1 = - \infty$ .

Déterminons la limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ :

D'après la propriété des croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ .

Par limite de l'inverse : $x \to + \infty lim \frac{x}{e ^{x}} = 0$ donc $x \to + \infty lim x e^{- x} = 0$ .

Par ailleurs, $x \to + \infty lim 2 x - 1 = + \infty$ .

Par limite de la somme on en déduit : $x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim x e^{- x} + 2 x - 1 = + \infty$ .

2. On a admis que la fonction est dérivable sur $R$ , $f$ étant la somme d'une fonction affine et d'un produit de deux fonctions dérivables sur $R$ .

Pour tout réel $x$ , on a : $f^{'} (x) = 1 \times e^{- x} + x \times (- e^{- x}) + 2 = (1 - x) e^{- x} + 2.$ $f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x} + 2$

3. On a admis que $f^{'}$ est dérivable. Pour tout réel $x$ , on a : $f^{''} (x) = - 1 \times e^{- x} + (1 - x) \times (- e^{- x}) + 0 = (- 1 - (1 - x)) e^{- x} = (x - 2) e^{- x} .$ On arrive bien à l'expression annoncée.

4. La fonction exponentielle est à valeurs strictement positives sur $R$ , donc $f^{''} (x)$ est du signe de $(x - 2)$ .

Sur l'intervalle $] - \infty; 2 [$ , $(x - 2) ⩽ 0$ , donc $f^{''}$ est à valeurs négatives et donc $f$ est concave sur $] - \infty; 2]$ .
Sur l'intervalle $[2; + \infty [$ , $(x - 2) ⩾ 0$ , donc $f^{''}$ est à valeurs positives et donc $f$ est convexe sur $[2; + \infty [$ .

Sur l'intervalle $] - \infty; 2 [$ , $f$ est concave, donc $f^{'}$ est décroissante.
Sur l'intervalle $[2; + \infty [$ , $f$ est convexe, donc $f^{'}$ est croissante.

$f^{'}$ atteint donc un minimum pour $x = 2$ . On a : $f^{'} (2) = (1 - 2) e^{- 2} + 2 = 2 - e^{- 2} .$ On peut donc établir le tableau de variations (sans limites, car non attendues ici) de $f^{'}$ .

(tableau de variations de $f^{'}$ : $f^{''} (x)$ est négatif sur $] - \infty; 2 [$ , nul en $2$ , positif sur $] 2; + \infty [$ ; $f^{'}$ est décroissante puis croissante, avec un minimum égal à $2 - e^{- 2}$ en $x = 2$ .)

6. Comme on a $- 2 < 0$ , on en déduit, par croissance de la fonction exponentielle : $e^{- 2} < e^{0}$ .

$e^{- 2} < e^{0} ⟹ e^{- 2} < 1 ⟹ - e^{- 2} > - 1$ car $- 1 < 0$

$⟹ 2 - e^{- 2} > 2 - 1 ⟹ 2 - e^{- 2} > 1$ .

Le minimum de $f^{'}$ est donc un réel supérieur à $1$ , donc strictement positif.

On en déduit que $f^{'}$ est donc une fonction à valeurs strictement positives sur $R$ , en conséquence, $f$ est effectivement une fonction strictement croissante sur $R$ .

7. $f$ est une fonction continue (car dérivable) et strictement croissante sur $R$ . De plus $0$ est une valeur intermédiaire entre $x \to - \infty lim f = - \infty$ et $x \to + \infty lim f = + \infty$ .

En vertu du corollaire au théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, on en déduit qu'il existe un unique réel $α$ tel que $f (α) = 0$ .

Par exploration à la calculatrice, on peut donner pour $α$ l'encadrement au centième près suivant : $0, 37 < α < 0, 38 .$

8. Pour tout $x$ réel, on a : $f (x) - (2 x - 1) = x e^{- x} .$ Comme la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives sur $R$ , on en déduit que cette différence entre l'ordonnée $f (x)$ d'un point sur $C_{f}$ et celle $2 x - 1$ du point partageant la même abscisse sur $Δ$ est du signe de $x$ .

Sur $R^{-}$ , la différence est donc négative, et on en déduit que la courbe $C_{f}$ est au-dessous de la droite $Δ$ .

Sur $R^{+}$ , au contraire, la différence est positive, et donc la courbe $C_{f}$ est au-dessus de la droite $Δ$ .

Partie B : Calcul d'aire

1. Pour tout $x$ réel, on pose : $u^{'} (x) = e^{- x}$ et $v (x) = x$ .

On a donc, pour tout $x$ réel : $v^{'} (x) = 1$ et, par exemple : $u (x) = - e^{- x}$ .

$I_{n} = \int_{1}^{n} x e^{- x} d x = \int_{1}^{n} v (x) \times u^{'} (x) d x$ $= [u (x) \times v (x)]_{1}^{n} - \int_{1}^{n} u (x) \times v^{'} (x) d x (int e ˊ gration par parties)$ $= [- e^{- x} \times x]_{1}^{n} - \int_{1}^{n} 1 \times (- e^{- x}) d x$ $= (- n e^{- n}) - (- e^{- 1}) + [- e^{- x}]_{1}^{n} (par lin e ˊ arit e ˊ de l’int e ˊ grale)$ $= e^{- 1} - n e^{- n} + [- e^{- x}]_{1}^{n}$ $= e^{- 1} - n e^{- n} + (- e^{- n} - (- e^{- 1}))$ $= 2 e^{- 1} - (n + 1) e^{- n} .$ On arrive donc à l'expression : $I_{n} = 2 e^{- 1} - (n + 1) e^{- n}$ .

2.a. Le domaine décrit est donc situé entre la courbe $C_{f}$ et la droite $Δ$ , pour les abscisses comprises entre $1$ et $n$ . Le nombre $n$ étant choisi entier naturel non nul, l'ensemble des abscisses concernées est donc inclus dans $R^{+}$ , où la courbe $C_{f}$ est au-dessus de la droite $Δ$ , d'après la question 8 de la partie A, c'est-à-dire que : $\forall x \in [1; n], 2 x - 1 ⩽ f (x) .$ Pour obtenir l'aire de $D_{n}$ , il faut donc intégrer la différence $f (x) - (2 x - 1)$ , entre $1$ et $n$ (car $1 ⩽ n$ ).

Comme, pour tout $x$ réel, on a $f (x) - (2 x - 1) = x e^{- x}$ , l'aire de $D_{n}$ (exprimée en unité d'aire) est donc bien égale à $I_{n}$ .

2.b. On a, pour tout $n$ entier naturel : $I_{n} = 2 e^{- 1} - (n + 1) e^{- n} = 2 e^{- 1} - n e^{- n} - e^{- n}$ .

Avec le même raisonnement que celui tenu à la question A.1., on a : $n \to + \infty lim n e^{- n} = 0$ .

On a également : $n \to + \infty lim e^{- n} = n \to + \infty lim \frac{1}{e ^{n}} = 0$ .

On a donc, par limite de la somme : $n \to + \infty lim I_{n} = 2 e^{- 1} .$ On est donc dans la situation d'un domaine dont le périmètre tend vers $+ \infty$ , puisqu'il s'étend sur une amplitude en abscisse qui tend vers $+ \infty$ , mais dont la surface reste majorée.

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