Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Étude d'une fonction avec exponentielle et calcul d'aire

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=x{e}^{-x}+2x-1.$$ On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

On appelle ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de la fonction $f$, et $f^{\prime \prime }$ la fonction dérivée seconde de $f$, c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f^{\prime }$.

Partie A : Étude de la fonction $f$

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2. Pour tout réel $x$, calculer $f^{\prime }(x)$.

3. Montrer que pour tout réel $x$ : $$f^{\prime \prime }(x)=(x-2)e^{-x}.$$

4. Étudier la convexité de la fonction $f$.

5. Étudier les variations de la fonction $f^{\prime }$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser un tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum.

Les limites de la fonction $f^{\prime }$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

6. En déduire le signe de la fonction $f^{\prime }$ sur $\mathbb{R}$, puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

7. Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha )=0$.

Donner un encadrement de $\alpha$, au centième près.

8. On considère la droite $\Delta$ d'équation $y=2x-1$.

Étudier la position relative de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à la droite $\Delta$.

Partie B : Calcul d'aire

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $D_n$ délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$. On note $$I_n={\int }_1^{n}x{e}^{-x}\mathrm{d}x.$$

1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_n$ en fonction de $n$.

2.a. Justifier que l'aire du domaine $D_n$ est $I_n$.

2.b. Calculer la limite de l'aire du domaine $D_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.