Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Étude de fonction (vrai/faux)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Exercice 1 — 5 points

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = x e^{- 2 x} .$ On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $R$ et on note $f^{'}$ la dérivée de la fonction $f$ . On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan.

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1. Pour tout réel $x$ , on a $f^{'} (x) = (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$ .

Affirmation 2. La fonction $f$ est une solution sur $R$ de l'équation différentielle : $y^{'} + 2 y = e^{- 2 x}$ .

Affirmation 3. La fonction $f$ est convexe sur $] - \infty; 1]$ .

Affirmation 4. L'équation $f (x) = - 1$ admet une unique solution sur $R$ .

Affirmation 5. L'aire du domaine délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est égale à $\frac{1}{4} - \frac{3 e ^{- 2}}{4}$ .

Corrigé

Affirmation 1. $f (x) = x e^{- 2 x}$ donc $f^{'} (x) = 1 \times e^{- 2 x} + x \times (- 2) e^{- 2 x} = (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$ .

$Affirmation 1 vraie$

Affirmation 2. $f^{'} (x) + 2 f (x) = (- 2 x + 1) e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} = e^{- 2 x}$ .

$Affirmation 2 vraie$

Affirmation 3. $f^{'} (x) = (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$ donc $f^{''} (x) = (- 2) e^{- 2 x} + (- 2 x + 1) \times (- 2) e^{- 2 x} = (4 x - 4) e^{- 2 x}$ . On étudie le signe de $f^{''} (x)$ sur $R$ .

(figure : tableau de signes de $f^{''}$ sur $R$ . Sur $] - \infty; 1 [$ , $4 x - 4 < 0$ et $e^{- 2 x} > 0$ donc $f^{''} (x) < 0$ : $f$ est concave ; sur $] 1; + \infty [$ , $f^{''} (x) > 0$ : $f$ est convexe.)

$Affirmation 3 fausse$

Affirmation 4. On détermine le signe de $f^{'} (x) = (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$ sur $R$ .

(figure : tableau de signes de $f^{'}$ ; $f^{'} (x) > 0$ pour $x < \frac{1}{2}$ , $f^{'} (\frac{1}{2}) = 0$ , $f^{'} (x) < 0$ pour $x > \frac{1}{2}$ .)

Valeurs remarquables : $x \to - \infty lim x = - \infty et x \to - \infty lim e^{- 2 x} = + \infty donc x \to - \infty lim f (x) = - \infty.$ $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^{- 1} = \frac{1}{2 e} > 0$ .

$f (x) = x e^{- 2 x} = \frac{1}{2} \times \frac{2 x}{e ^{2 x}}$ ; par croissance comparée, $lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{e ^{2 x}} = 0$ donc $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .

On établit le tableau de variations de $f$ sur $R$ .

(figure : tableau de variations ; $f$ croît de $- \infty$ jusqu'à $\frac{1}{2} e^{- 1}$ sur $] - \infty; \frac{1}{2}]$ puis décroît de $\frac{1}{2} e^{- 1}$ jusqu'à $0$ sur $[\frac{1}{2}; + \infty [$ .)

Sur l'intervalle $] - \infty; \frac{1}{2}]$ , la fonction $f$ est continue et strictement croissante. De plus $lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ et $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^{- 1} > 0$ . Or $- 1 \in] - \infty; \frac{1}{2} e^{- 1}]$ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f (x) = - 1$ admet une unique solution sur $] - \infty; \frac{1}{2}]$ .
Sur l'intervalle $[\frac{1}{2}; + \infty [$ , la fonction $f$ est strictement positive donc l'équation $f (x) = - 1$ n'admet aucune solution sur cet intervalle.

Donc l'équation $f (x) = - 1$ admet une unique solution sur $R$ .

$Affirmation 4 vraie$

Affirmation 5. L'aire du domaine est égale à $A = \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} x e^{- 2 x} d x$ .

On utilise une intégration par parties : $\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x$ .

On pose ${u (x) = x v^{'} (x) = e^{- 2 x}$ donc $⎩ ⎨ ⎧ u^{'} (x) = 1 v (x) = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

$A = \int_{0}^{1} x e^{- 2 x} d x = [x \times (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) d x = [- \frac{x e ^{- 2 x}}{2}]_{0}^{1} - [\frac{1}{4} e^{- 2 x}]_{0}^{1}$ $= [- \frac{e ^{- 2}}{2} - 0] - [\frac{e ^{- 2}}{4} - \frac{e ^{0}}{4}] = \frac{1}{4} - \frac{3 e ^{- 2}}{4} .$

$Affirmation 5 vraie$

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