Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Étude de fonction (vrai/faux)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

Exercice 1 — 5 points

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = x e^{- 2 x} .$ On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $R$ et on note $f^{'}$ la dérivée de la fonction $f$ . On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan.

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1. Pour tout réel $x$ , on a $f^{'} (x) = (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$ .

Affirmation 2. La fonction $f$ est une solution sur $R$ de l'équation différentielle : $y^{'} + 2 y = e^{- 2 x}$ .

Affirmation 3. La fonction $f$ est convexe sur $] - \infty; 1]$ .

Affirmation 4. L'équation $f (x) = - 1$ admet une unique solution sur $R$ .

Affirmation 5. L'aire du domaine délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est égale à $\frac{1}{4} - \frac{3 e ^{- 2}}{4}$ .

Corrigé

Affirmation 1. $f (x) = x e^{- 2 x}$ donc $f^{'} (x) = 1 \times e^{- 2 x} + x \times (- 2) e^{- 2 x} = (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$ .

$Affirmation 1 vraie$

Affirmation 2. $f^{'} (x) + 2 f (x) = (- 2 x + 1) e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} = e^{- 2 x}$ .

$Affirmation 2 vraie$

Affirmation 3. $f^{'} (x) = (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$ donc $f^{''} (x) = (- 2) e^{- 2 x} + (- 2 x + 1) \times (- 2) e^{- 2 x} = (4 x - 4) e^{- 2 x}$ . On étudie le signe de $f^{''} (x)$ sur $R$ .

(figure : tableau de signes de $f^{''}$ sur $R$ . Sur $] - \infty; 1 [$ , $4 x - 4 < 0$ et $e^{- 2 x} > 0$ donc $f^{''} (x) < 0$ : $f$ est concave ; sur $] 1; + \infty [$ , $f^{''} (x) > 0$ : $f$ est convexe.)

$Affirmation 3 fausse$

Affirmation 4. On détermine le signe de $f^{'} (x) = (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$ sur $R$ .

(figure : tableau de signes de $f^{'}$ ; $f^{'} (x) > 0$ pour $x < \frac{1}{2}$ , $f^{'} (\frac{1}{2}) = 0$ , $f^{'} (x) < 0$ pour $x > \frac{1}{2}$ .)

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