Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Évolution d'une population animale (suites)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

6 points

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.

Au $1^{er}$ janvier 2025, on introduit 6 000 individus dans chacun des milieux A et B.

Partie A

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_{n})$ de premier terme $u_{0} = 6$ et de raison $0, 93$ .

Pour tout entier naturel $n$ , $u_{n}$ représente la population au $1^{er}$ janvier de l'année $2025 + n$ , exprimée en milliers d'individus.

1. Donner, selon ce modèle, la population au $1^{er}$ janvier 2026.

2. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_{n})$ définie par

$v_{0} = 6 et pour tout entier naturel n, v_{n + 1} = - 0, 05 v_{n}^{2} + 1, 1 v_{n} .$

Pour tout entier naturel $n$ , $v_{n}$ représente la population au $1^{er}$ janvier de l'année $2025 + n$ , exprimée en milliers d'individus.

1. Donner, selon ce modèle, la population au $1^{er}$ janvier 2026.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par

$f (x) = - 0, 05 x^{2} + 1, 1 x .$

2. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0; 11]$ .

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ ,

$2 ⩽ v_{n + 1} ⩽ v_{n} ⩽ 6.$

4. En déduire que la suite $(v_{n})$ est convergente vers une limite $ℓ$ .

5. a. Justifier que la limite $ℓ$ vérifie $f (ℓ) = ℓ$ puis en déduire la valeur de $ℓ$ .

b. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

1. En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à 3 000 individus.

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à 3 000 individus.

3. Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.

4. On considère le programme Python ci-contre.

a. Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.

b. Déterminer l'année affichée après exécution du programme.

(figure : programme Python)

n=0 u = 6 v = 6 while ... : u = ... v= ... n = n+1 print(2025 + n)

Corrigé

Partie A

1. $u_{1} = u_{0} \times 0, 93 = 6 \times 0, 93 = 5, 58$ .

$u_{1} = 5, 58 (soit 5580 individus au 1^{er} janvier 2026)$

2. $(u_{n})$ est une suite géométrique de premier terme $u_{0} = 6$ et de raison $0, 93$ donc pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 6 \times 0, 9 3^{n}$ .

3. La raison $q$ vérifiant $- 1 < 0, 93 < 1$ , on sait que $n \to + \infty lim 0, 9 3^{n} = 0$ donc $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .

Interprétation : ceci signifie qu'au bout d'un grand nombre d'années la population animale dans le milieu A va aller à l'extinction.

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = - 0, 05 v_{n}^{2} + 1, 1 v_{n}$ .

En particulier $v_{1} = - 0, 05 \times 6^{2} + 1, 1 \times 6 = - 1, 8 + 6, 6 = 4, 8$ .

$v_{1} = 4, 8 (soit 4800 individus au 1^{er} janvier 2026)$

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (x) = - 0, 05 x^{2} + 1, 1 x$ .

2. La fonction $f$ est dérivable donc continue sur $[0; + \infty [$ .

$\forall x \in [0; + \infty [, f^{'} (x) = - 0, 1 x + 1, 1$ .

$f^{'} (x) ⩾ 0 ⟺ - 0, 1 x + 1, 1 ⩾ 0 ⟺ x ⩽ \frac{1 , 1}{0 , 1} ⟺ x ⩽ 11$ .

Donc la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0; 11]$ .

3. Nous savons que pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = f (v_{n})$ . Montrons par récurrence que $2 ⩽ v_{n + 1} ⩽ v_{n} ⩽ 6$ .

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