Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Évolution d'une population animale (suites)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

6 points

On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B.

Au $1^{er}$ janvier 2025, on introduit 6 000 individus dans chacun des milieux A et B.

Partie A

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $(u_{n})$ de premier terme $u_{0} = 6$ et de raison $0, 93$ .

Pour tout entier naturel $n$ , $u_{n}$ représente la population au $1^{er}$ janvier de l'année $2025 + n$ , exprimée en milliers d'individus.

1. Donner, selon ce modèle, la population au $1^{er}$ janvier 2026.

2. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_{n})$ définie par

$v_{0} = 6 et pour tout entier naturel n, v_{n + 1} = - 0, 05 v_{n}^{2} + 1, 1 v_{n} .$

Pour tout entier naturel $n$ , $v_{n}$ représente la population au $1^{er}$ janvier de l'année $2025 + n$ , exprimée en milliers d'individus.

1. Donner, selon ce modèle, la population au $1^{er}$ janvier 2026.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par

$f (x) = - 0, 05 x^{2} + 1, 1 x .$

2. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0; 11]$ .

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ ,

$2 ⩽ v_{n + 1} ⩽ v_{n} ⩽ 6.$

4. En déduire que la suite $(v_{n})$ est convergente vers une limite $ℓ$ .

5. a. Justifier que la limite $ℓ$ vérifie $f (ℓ) = ℓ$ puis en déduire la valeur de $ℓ$ .

b. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

1. En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à 3 000 individus.

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à 3 000 individus.

3. Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.

4. On considère le programme Python ci-contre.

a. Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.

b. Déterminer l'année affichée après exécution du programme.

(figure : programme Python)

n=0 u = 6 v = 6 while ... : u = ... v= ... n = n+1 print(2025 + n)

Corrigé

Partie A

1. $u_{1} = u_{0} \times 0, 93 = 6 \times 0, 93 = 5, 58$ .

$u_{1} = 5, 58 (soit 5580 individus au 1^{er} janvier 2026)$

2. $(u_{n})$ est une suite géométrique de premier terme $u_{0} = 6$ et de raison $0, 93$ donc pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 6 \times 0, 9 3^{n}$ .

3. La raison $q$ vérifiant $- 1 < 0, 93 < 1$ , on sait que $n \to + \infty lim 0, 9 3^{n} = 0$ donc $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .

Interprétation : ceci signifie qu'au bout d'un grand nombre d'années la population animale dans le milieu A va aller à l'extinction.

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = - 0, 05 v_{n}^{2} + 1, 1 v_{n}$ .

En particulier $v_{1} = - 0, 05 \times 6^{2} + 1, 1 \times 6 = - 1, 8 + 6, 6 = 4, 8$ .

$v_{1} = 4, 8 (soit 4800 individus au 1^{er} janvier 2026)$

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (x) = - 0, 05 x^{2} + 1, 1 x$ .

2. La fonction $f$ est dérivable donc continue sur $[0; + \infty [$ .

$\forall x \in [0; + \infty [, f^{'} (x) = - 0, 1 x + 1, 1$ .

$f^{'} (x) ⩾ 0 ⟺ - 0, 1 x + 1, 1 ⩾ 0 ⟺ x ⩽ \frac{1 , 1}{0 , 1} ⟺ x ⩽ 11$ .

Donc la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0; 11]$ .

3. Nous savons que pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = f (v_{n})$ . Montrons par récurrence que $2 ⩽ v_{n + 1} ⩽ v_{n} ⩽ 6$ .

Initialisation : $v_{0} = 6$ et $v_{1} = 4, 8$ donc $2 ⩽ v_{1} ⩽ v_{0} ⩽ 6$ . La proposition est vraie au rang $0$ .

Hérédité : on suppose que pour un entier $n$ , $2 ⩽ v_{n + 1} ⩽ v_{n} ⩽ 6$ . Comme $v_{n} \in [0; 11]$ , $v_{n + 1} \in [0; 11]$ , et que $f$ est croissante sur $[0; 11]$ d'après l'encadrement, on peut appliquer $f$ aux quatre nombres de l'encadrement sont rangées dans le même ordre croissant, soit

$f (2) ⩽ f (v_{n + 1}) ⩽ f (v_{n}) ⩽ f (6) ⟺ 2 ⩽ v_{n + 2} ⩽ v_{n + 1} ⩽ 4, 8$ (car $f (2) = - 0, 05 \times 2^{2} + 2, 2 = - 0, 2 + 2, 2 = 2$ ).

On a donc $2 ⩽ v_{n + 2} ⩽ v_{n + 1} ⩽ 6$ . La proposition est vraie au rang $n + 1$ .

Conclusion : La proposition est vraie au rang $n = 0$ et si elle est vraie au rang $n \in N$ , elle l'est aussi au rang $n + 1$ . D'après l'axiome de récurrence, pour tout entier naturel $n$ ,

$2 ⩽ v_{n + 1} ⩽ v_{n} ⩽ 6.$

4. Le résultat précédent montre deux résultats : pour tout entier naturel $n$ ,

$v_{n + 1} ⩽ v_{n}$ donc la suite $(v_{n})$ est décroissante ;
$2 ⩽ v_{n}$ donc la suite $(v_{n})$ est minorée par 2.

D'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(v_{n})$ converge vers une limite $ℓ ⩾ 2$ .

5. a. La fonction $f$ est continue, et dérivable sur $[0; + \infty [$ . La suite $(v_{n})$ converge, donc d'après le théorème du point fixe, $ℓ$ est l'unique solution sur $[2; 6]$ de l'équation $f (x) = x$ .

b. On résout l'équation $ℓ = f (ℓ)$ :

$ℓ = f (ℓ) ⟺ ℓ = - 0, 05 ℓ^{2} + 1, 1 ℓ ⟺ 0, 05 ℓ^{2} - 0, 1 ℓ = 0 ⟺ 0, 05 ℓ (ℓ - 2) = 0$

On obtient deux solutions : $ℓ = 0$ et $ℓ = 2$ . Or $ℓ \in [2; 6]$ et $ℓ \neq = 0$ . Donc $ℓ = 2$ .

Ceci signifie qu'au bout d'un certain nombre d'années la population va se rapprocher de 2 000 individus, soit le tiers du nombre initial.

Partie C

1. En milieu A, on utilise la suite $(u_{n})$ . On cherche à résoudre $u_{n} < 3$ .

$u_{n} < 3 ⟺ 6 \times 0, 9 3^{n} < 3 ⟺ 0, 9 3^{n} < \frac{1}{2}$ . La fonction $x \mapsto ln (x)$ est croissante sur $[0; + \infty [$ donc $0, 9 3^{n} < \frac{1}{2} ⟺ ln (0, 9 3^{n}) < ln (\frac{1}{2}) ⟺ n \times ln (0, 93) < - ln (2)$

$⟺ n > - \frac{ln ( 2 )}{ln ( 0 , 93 )}$ car $ln (0, 93) < 0$ .

Or $- \frac{ln ( 2 )}{ln ( 0 , 93 )} \approx 9, 55$ donc $n ⩾ 10$ soit en 2035.

À partir de 2035, le nombre d'individus en milieu A sera inférieur à 3 000.

2. On sait que $(v_{n})$ est décroissante. Avec la calculatrice, on trouve $v_{5} \approx 3, 14$ et $v_{6} \approx 2, 96$ . Donc pour $n ⩾ 6$ .

Ce sera donc à partir de 2031.

3. La suite $(u_{n})$ converge vers 0, et $(v_{n})$ converge vers 2. Les deux suites étant décroissantes en partant de $u_{0} = v_{0} = 6$ , il existera un rang $N$ tel que $v_{N} > u_{N}$ .

4. Le script complété :

n=0 u = 6 v = 6 while u >= v : u = 0.93u v= -0.05v**2+1.1*v n = n+1 print(2025 + n)

5. Le script affiche 2038. Avec la calculatrice : $u_{12} \approx 2, 51$ et $v_{12} \approx 2, 41$ ; $u_{13} \approx 2, 34$ et $v_{13} \approx 2, 36$ . Donc $N = 13$ .

$Ann e ˊ e affich e ˊ e : 2038$

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