Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Lancers au basket : loi binomiale et concentration

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L'entraîneur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entraînement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$.

Lors d'un entraînement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

1. On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement $4$ paniers lors de cette série.

3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus $6$ paniers lors de cette série.

4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.

5. On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

a. Exprimer $T$ en fonction de $N$.

b. En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.

c. Calculer $P(12⩽T⩽18)$.

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance $E(X)=22$ et la variance $V(X)=65$.

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.

On note $X_1,X_2,\dots ,X_n$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1^{\text{er}}$, $2^{\text{e}}$, $\dots$, $n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_1,X_2,\dots ,X_n$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.

On pose $M_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$.

1. Dans cette question, on prend $n=50$.

a. Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?

b. Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.

c. Démontrer que $P(|M_{50}-22|⩾3)⩽\frac{13}{90}$.

d. En déduire que la probabilité de l'événement « $19<M_{50}<25$ » est strictement supérieure à $0,85$.

2. Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :

« Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P(|M_n-22|⩾3)<0,01$. »