Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Permis de conduire : probabilités et loi binomiale

Partie A

1. On dresse un arbre de probabilités modélisant cette situation.

(figure : arbre de probabilités. Première branche $A$ de probabilité $0,16$, puis $R$ avec $0,747$ et $\overline{R}$ avec $1-0,747=0,253$ ; branche $\overline{A}$ de probabilité $1-0,16=0,84$, puis $R$ avec $0,568$ et $\overline{R}$ avec $1-0,568=0,432$.)

2. a. D'après la loi des probabilités totales : $$P(R)=P(A\cap R)+P\left(\overline{A}\cap R\right)=P(A)\times P_A(R)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}(R)$$ $$=0,16\times 0,747+0,84\times 0,568=0,11952+0,47712=\boxed{0,59664}$$

Dans la suite, on gardera la valeur $0,597$ arrondie à $10^{-3}$ près.

b. Une probabilité de $0,597$ correspond à un pourcentage de $59,7\%$.

Le pourcentage de réussite lors du premier passage du permis est de $59,7\%$, quel que soit le mode d'apprentissage.

3. On choisit un jeune ayant eu son permis dès sa première tentative. La probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée est : $$P_R(A)=\frac{P(A\cap R)}{P(R)}\approx \frac{0,16\times 0,747}{0,597}\approx \boxed{0,200}$$

4. On cherche la proportion $x$ de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l'examen de conduite. De la même manière que précédemment, l'arbre donne :

(figure : arbre avec branche $A$ de probabilité $x$ menant à $R$ ($0,747$) et $\overline{R}$ ($0,253$), et branche $\overline{A}$ de probabilité $1-x$ menant à $R$ ($0,568$) et $\overline{R}$ ($0,432$).)

Le taux de réussite devient alors : $$P(R)=x\times 0,747+(1-x)\times 0,568=0,747x+0,568-0,568x=0,179x+0,568$$ $$P(R)>0,70⟺0,179x+0,568>0,7⟺0,179x>0,132⟺x>\frac{0,132}{0,179}$$ Or $\frac{0,132}{0,179}\approx 0,737$.

Il faudrait donc qu'au moins $73,7\%$ des jeunes choisissent la conduite accompagnée pour dépasser un taux de réussite de $70\%$.

Partie B

1. L'expérience élémentaire consiste à choisir un candidat ; il y a deux possibilités : il est reçu, avec une probabilité $p=0,747$, ou il ne l'est pas.

On réalise $10$ fois cette expérience et on suppose que les épreuves aléatoires sont indépendantes.

Donc la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de ces $10$ candidats qui auront leur permis dès la première tentative suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$.

2. $P(X⩾6)=1-P(X⩽5)$.

À la calculatrice on trouve $P(X⩽5)\approx 0,082$ donc $P(X⩾6)\approx \boxed{0,918}$.

On peut donc estimer à $91,8\%$ le pourcentage de chances que sur $10$ candidats, au moins $6$ obtiennent le permis dès leur première tentative.

3. $E(X)=np=10\times 0,747=\boxed{7,47}$ et $V(X)=np(1-p)=10\times 0,747\times 0,253=\boxed{1,890}$.

4. a. Il y a aussi $40$ candidats qui n'ont pas suivi la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l'examen de conduite. La variable aléatoire $Z$ comptant le nombre total de candidats qui auront le permis dès la première tentative vérifie : $$Z=X+Y$$

D'après la linéarité de l'espérance : $E(Z)=E(X)+E(Y)=7,47+22,53=\boxed{30}$.

Les variables $X$ et $Y$ étant indépendantes, on peut utiliser l'additivité de la variance : $V(Z)=V(X)+V(Y)=1,89+9,81=\boxed{11,7}$.

b. La variable aléatoire $Z$ a pour espérance $E(Z)=30$ et pour variance $V(Z)$ donc, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :

pour tout $\delta \in ]0;+\infty [$, $P(|Z-E(Z)|⩾\delta )⩽\frac{V(Z)}{{\delta }^2}$.

$E(Z)=30$ et $V(Z)=11,7$ donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient :

pour tout $\delta \in ]0;+\infty [$, $P(|Z-30|⩾\delta )⩽\frac{11,7}{{\delta }^2}$.

On cherche la probabilité qu'il y ait moins de $20$ ou plus de $40$ candidats reçus. $$Z⩽20⟺Z-30⩽-10\text{et}Z⩾40⟺Z-30⩾10$$ $$(Z-30)⩽-10)\text{ ou }(Z-30)⩾10)⟺|Z-30|⩾10$$ Pour $\delta =10$, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : $$P(|Z-30|⩾10)⩽\frac{11,7}{10^2}\text{ donc }P(|Z-30|⩾10)⩽0,117$$ donc la probabilité qu'il y ait au plus $20$ ou au moins $40$ candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à $0,12$.