Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Probabilités : arbre, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $1 0^{- 3}$ près en cas de besoin. Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.

Abel est au service.

On considère les évènements suivants :

$S$ : « Abel réussit son premier service »
$G$ : « Abel gagne le point ».

1. Décrire l'évènement $S$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer $P (S \cap G)$ .

3. Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0, 695$ .

4. Abel a gagné le point. Calculer la probabilité qu'il ait réussi son premier service.

5. Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

1. On teste successivement 20 balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées.

a. Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.

b. Calculer $P (X ⩽ 18)$ .

c. La probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées est égale à la probabilité qu'au plus 18 balles soient conformes, c'est-à-dire $P (X ⩽ 18)$ .

d. Déterminer l'espérance de $X$ .

2. On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0, 85$ . On considère la variable aléatoire $M_{n} = i = 1 \sum n \frac{X _{i}}{n} = \frac{X _{1}}{n} + \frac{X _{2}}{n} + \dots + \frac{X _{n}}{n} .$

a. Déterminer l'espérance et la variance de $M_{n}$ .

b. Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $P (0, 75 < M_{n} < 0, 95) ⩾ 1 - \frac{12 , 75}{n}$ .

c. En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle $] 0, 75; 0, 95 [$ avec une probabilité supérieure à $0, 9$ .

Corrigé

Partie A

1. $S$ est l'évènement : « Abel ne réussit pas son premier service ». On traduit la situation par un arbre pondéré.

(figure : arbre pondéré. Depuis la racine : branche $S$ de probabilité $0, 7$ menant à $G$ ( $0, 8$ ) et $G$ ( $0, 2$ ) ; branche $S$ de probabilité $0, 3$ menant à $G$ ( $0, 45$ ) et $G$ ( $0, 55$ ).)

2. $P (S \cap G) = P (S) \times P_{S} (G) = 0, 7 \times 0, 8 = 0, 56$ .

3. ${S; S}$ forme une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales : $P (G) = P (S \cap G) + P (S \cap G) = 0, 56 + 0, 3 \times 0, 45 = 0, 695 .$

4. Abel a gagné le point. La probabilité qu'il ait réussi son premier service est : $P_{G} (S) = \frac{P ( S \cap G )}{P ( G )} = \frac{0 , 56}{0 , 695} \approx 0, 806 .$

5. On a $P (S \cap G) = 0, 56$ et $P (S) \times P (G) = 0, 7 \times 0, 695 = 0, 4865$ .

Comme $P (S \cap G) \neq = P (S) \times P (G)$ , les évènements $S$ et $G$ ne sont pas indépendants.

Partie B

1.a. L'épreuve élémentaire consiste à voir si une balle est conforme, avec une probabilité de $0, 85$ , ou si elle ne l'est pas. On exécute cette épreuve élémentaire 20 fois et le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise.

Donc la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0, 85$ .

b. À la calculatrice, $P (X ⩽ 18) \approx 0, 595$ .

c. La probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées est égale à la probabilité qu'au plus 18 balles soient conformes, c'est-à-dire $P (X ⩽ 18)$ , soit environ $0, 595$ .

d. L'espérance de $X$ est $E (X) = n p = 20 \times 0, 85 = 17$ .

2.a. D'après le cours, les $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre $p = 0, 85$ ont pour espérance $p = 0, 85$ et pour variance $p (1 - p) = 0, 85 \times 0, 15 = 0, 1275$ .

Soit $S_{n}$ la somme définie par $S_{n} = X_{1} + X_{2} + X_{3} + \dots + X_{n} = i = 1 \sum n X_{i}$ .

D'après la linéarité de l'espérance : $E (S_{n}) = E (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n E (X_{i}) = i = 1 \sum n 0, 85 = 0, 85 n$ .
Les variables $X_{i}$ étant indépendantes, on utilise l'additivité de la variance : $V (S_{n}) = V (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n V (X_{i}) = i = 1 \sum n 0, 1275 = 0, 1275 n$ .

$M_{n}$ est la moyenne définie par $M_{n} = \frac{S _{n}}{n}$ .

On sait que $E (a X) = a E (X)$ , donc $E (M_{n}) = E (\frac{1}{n} S_{n}) = \frac{1}{n} E (S_{n}) = \frac{0 , 85 n}{n} = 0, 85$ .
On sait que $V (a X) = a^{2} V (X)$ , donc $V (M_{n}) = V (\frac{1}{n} S_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} V (S_{n}) = \frac{0 , 1275 n}{n ^{2}} = \frac{0 , 1275}{n}$ .

b. Si $X$ est une variable aléatoire et $t$ un réel strictement positif, on a $P (∣ X - E (X) ∣ ⩾ t) ⩽ \frac{V ( X )}{t ^{2}}$ : c'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

On en déduit que $P (∣ X - E (X) ∣ < t) ⩾ 1 - \frac{V ( X )}{t ^{2}}$ . Donc : $P (∣ M_{n} - E (M_{n}) ∣ < t) ⩾ 1 - \frac{V ( M _{n} )}{t ^{2}} ⟹ P (∣ M_{n} - 0, 85∣ < t) ⩾ 1 - \frac{0 , 1275}{n t ^{2}} .$ On prend $t = 0, 1$ . On a alors :

$∣ M_{n} - 0, 85∣ < 0, 1 ⟺ - 0, 1 < M_{n} - 0, 85 < 0, 1 ⟺ 0, 75 < M_{n} < 0, 95$ ;
$1 - \frac{0 , 1275}{n \times 0 , 1 ^{2}} = 1 - \frac{12 , 75}{n}$ .

On en déduit donc : $P (0, 75 < M_{n} < 0, 95) ⩾ 1 - \frac{12 , 75}{n}$ .

c. Pour trouver un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle $] 0, 75; 0, 95 [$ avec une probabilité d'au moins $0, 9$ , il suffit que $1 - \frac{12 , 75}{n} ⩾ 0, 9$ . On résout cette inéquation : $1 - \frac{12 , 75}{n} ⩾ 0, 9 ⟺ 0, 1 ⩾ \frac{12 , 75}{n} ⟺ 0, 1 n ⩾ 12, 75 ⟺ n ⩾ 127, 5.$ Donc il faut un échantillon de taille supérieure ou égale à $n = 128$ pour que la moyenne du nombre de balles conformes appartienne à l'intervalle $] 0, 75; 0, 95 [$ avec une probabilité supérieure à $0, 9$ .

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