Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Probabilités : arbre, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin. Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.

Abel est au service.

On considère les évènements suivants :

• $S$ : « Abel réussit son premier service »
• $G$ : « Abel gagne le point ».

1. Décrire l'évènement $\overline{S}$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer $P(S\cap G)$.

3. Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0,695$.

4. Abel a gagné le point. Calculer la probabilité qu'il ait réussi son premier service.

5. Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

1. On teste successivement 20 balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées.

a. Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.

b. Calculer $P(X⩽18)$.

c. La probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées est égale à la probabilité qu'au plus 18 balles soient conformes, c'est-à-dire $P(X⩽18)$.

d. Déterminer l'espérance de $X$.

2. On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0,85$. On considère la variable aléatoire $$M_n=\sum _{i=1}^n\frac{X_i}{n}=\frac{X_1}{n}+\frac{X_2}{n}+\cdots +\frac{X_n}{n}.$$

a. Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$.

b. Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$, $P\left(0,75<M_n<0,95\right)⩾1-\frac{12,75}{n}$.

c. En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle $]0,75;0,95[$ avec une probabilité supérieure à $0,9$.