Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : QCM : cube, géométrie dans l'espace et dénombrement

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

On considère le cube ABCDEFGH d'arête $1$ et le point $I$ défini par $F I = \frac{1}{3} F B$ .

On pourra se placer dans le repère orthonormé de l'espace $(A; A B, A D, A E)$ .

1. On considère le triangle HAC.

Affirmation 1 : Le triangle HAC est un triangle rectangle.

2. On considère les droites (HF) et (DI).

Affirmation 2 : Les droites (HF) et (DI) sont sécantes.

3. On considère un réel $α$ appartenant à l'intervalle $[0; π]$ .

On considère le vecteur $u$ de coordonnées $sin (α) sin (π - α) sin (- α)$ .

Affirmation 3 : Le vecteur $u$ est un vecteur normal au plan (FAC).

4. Le cube ABCDEFGH possède $8$ sommets. On s'intéresse au nombre $N$ de segments que l'on peut construire en reliant $2$ sommets distincts quelconques du cube.

Affirmation 4 : $N = \frac{8 ^{2}}{2}$ .

Corrigé

1. Dans un cube toutes les faces sont des carrés de même côté, donc les diagonales de chaque face ont même longueur.

Or dans le triangle HAC, chaque côté est une diagonale d'une face ( $H A$ est une diagonale de ADHE, $A C$ est une diagonale de ABCD et $C H$ est une diagonale de CDHG). Les trois côtés du triangle HAC ont donc même longueur $2$ , c'est-à-dire un triangle équilatéral.

Or les angles dans un triangle équilatéral mesurent $60°$ , donc HAC n'est pas rectangle.

L'affirmation 1 est \boxed{\text{FAUSSE}}.

2. Les droites (DH) et (BF) sont des arêtes opposées du cube, elles sont donc parallèles, et donc coplanaires. Donc (BF) est une droite du plan (DFH).

Comme $I$ est un point de (BF) il appartient au plan (DFH). Donc les droites (DI) et (HF) sont coplanaires.

Puisque (BD) est la droite parallèle à (HF) passant par D (arêtes opposées), et que B et $I$ sont distincts, d'après l'axiome d'Euclide, la droite (DI) n'est pas parallèle à (HF). Si ces deux droites sont coplanaires, elles sont soit parallèles soit sécantes. Donc (DI) et (HF) sont sécantes.

L'affirmation 2 est \boxed{\text{VRAIE}}.

3. Si le vecteur $u$ est normal au plan (FAC) alors il est orthogonal à tout vecteur de ce plan.

On calcule donc le produit scalaire $u \cdot F C$ , puisque deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.

$F C = 1 - 1 1 - 0 0 + 1 = 01 - 1$

$u \cdot F C = sin (α) \times 0 + sin (π - α) \times 1 + sin (- α) \times (- 1) = sin (π - α) - sin (- α) = sin (α) + sin (α) = 2 sin (α) \neq = 0 puisque α \neq = 0$

Le vecteur $u$ n'est donc pas orthogonal au vecteur $F C$ . Donc, puisqu'il existe un vecteur de (FAC) qui n'est pas orthogonal à $u$ , $u$ n'est pas un vecteur normal à (FAC).

L'affirmation 3 est \boxed{\text{FAUSSE}}.

4. Un cube possède $8$ sommets.

Pour former un segment, on doit choisir $2$ sommets distincts parmi ces $8$ sommets. L'ordre n'a pas d'importance (le segment reliant A à B est le même que celui reliant B à A).

On utilise donc une combinaison :

$(2 8) = \frac{8 !}{2 ! ( 8 - 2 )!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28.$

Il existe \boxed{28 \text{ segments}} pouvant relier deux sommets distincts d'un cube. Or $\frac{8 ^{2}}{2} = 32 \neq = 28$ .

L'affirmation 4 est \boxed{\text{FAUSSE}}.

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