Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : QCM géométrie dans l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ . On considère :

$α$ un réel quelconque ;
les points $A (1; 1; 0)$ , $B (2; 1; 0)$ et $C (α; 3; α)$ ;
$(d)$ la droite dont une représentation paramétrique est :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 t z = - t, t \in R$

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : Pour toutes les valeurs de $α$ , les points $A$ , $B$ et $C$ définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est $n 010$ .

Affirmation 2 : Il existe exactement une valeur de $α$ telle que les droites $(A C)$ et $(d)$ soient parallèles.

Affirmation 3 : Une mesure de l'angle $O A B$ est $135°$ .

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$ est le point $H (1; 2; 2)$ .

Affirmation 5 : La sphère de centre $O$ et de rayon $1$ rencontre la droite $(d)$ en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre $Ω$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $r$ de $Ω$ .

Corrigé

Affirmation 1 : Fausse.

Le vecteur $A B$ a pour coordonnées $A B 100$ et $A C$ a pour coordonnées $A C α - 1 2 α$ .

Quel que soit le réel $α$ , ces coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires, ils définissent bien un plan.

Cependant, le repère étant orthonormé, on peut utiliser leurs coordonnées pour calculer un produit scalaire : $A C \cdot j = (α - 1) \times 0 + 2 \times 1 + α \times 0 = 2$ .

On constate que les vecteurs $j$ et $A C$ ne sont pas orthogonaux, donc $j$ n'est pas un vecteur normal au plan $(A B C)$ : cette partie de l'affirmation est donc fausse.

Affirmation 2 : Fausse.

En interprétant le système de représentation paramétrique, la droite $(d)$ est dirigée par $u 12 - 1$ . On rappelle : $A C α - 1 2 α$ .

Pour que les droites soient parallèles, il faudrait que les vecteurs $u$ et $A C$ soient proportionnels. Or, ici, les seconde et troisième coordonnées ne peuvent être égales : si on choisit $α$ égal à 1, les altitudes seront égales, mais pas les abscisses ; si on choisit $α$ égal à 2, alors les abscisses seront égales, mais pas les altitudes ; et pour tout autre réel $α$ , les abscisses et altitudes seront différentes entre les deux vecteurs. Quel que soit le réel $α$ , les vecteurs $u$ et $A C$ ne sont pas colinéaires, et les droites ne sont pas parallèles : l'affirmation est donc fausse.

Affirmation 3 : Vraie.

$O$ étant l'origine du repère, les coordonnées du vecteur $O A$ sont celles du point $A$ , donc celles de $A O$ sont $- 1 - 1 0$ . On rappelle $A B 100$ .

On a donc, dans le repère orthonormé : $A O \cdot A B = - 1 \times 1 + (- 1) \times 0 + 0 \times 0 = - 1$ .

$A O = (- 1)^{2} + (- 1)^{2} + 0^{2} = 2$ et $A B = 1^{2} + 0^{2} + 0^{2} = 1 = 1$ .

On a donc aussi : $A O \cdot A B = A O \times A B \times cos (O A B) = 2 cos (O A B)$ .

En égalant les deux expressions du produit scalaire, il vient : $- 1 = 2 cos (O A B)$ ,

ce qui équivaut à : $cos (O A B) = \frac{- 1}{2} = \frac{- 2}{2}$ .

On reconnaît ici l'opposé du cosinus d'un angle de $\frac{π}{4}$ , ce qui est donc le cosinus d'un angle de mesure $π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ , soit effectivement $135°$ .

Affirmation 4 : Fausse.

Avec les coordonnées données pour $H$ et la représentation paramétrique de $(d)$ , pour que le point $H$ soit sur la droite, on aurait $x_{H} = 1 + t$ , il faut donc avoir $t = 0$ ; on trouve alors que les ordonnées et altitudes ne correspondent pas : le point $H$ n'est pas sur la droite $(d)$ , il n'est donc pas le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$ .

Affirmation 5 : Vraie.

Soit $t$ un réel quelconque et $M_{t}$ le point de paramètre $t$ sur la droite $(d)$ . La distance $O M_{t}$ est donnée par :

$O M_{t} = (1 + t)^{2} + (2 t)^{2} + (- t)^{2} = 1 + 2 t + t^{2} + 4 t^{2} + t^{2} = 6 t^{2} + 2 t + 1$

On a donc : $O M_{t} = 1 ⟺ 6 t^{2} + 2 t + 1 = 1$ $⟺ 6 t^{2} + 2 t + 1 = 1$ $⟺ 6 t^{2} + 2 t = 0$ $⟺ 2 t (3 t + 1) = 0$ $⟺ 2 t = 0 ou 3 t + 1 = 0$ $⟺ t = 0 ou t = - \frac{1}{3}$

L'équation a deux solutions, il y a donc exactement deux points de la droite $(d)$ qui sont sur la sphère : les points de paramètre $0$ et $- \frac{1}{3}$ , l'affirmation est \boxed{\text{vraie}}.

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