Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : QCM géométrie dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On considère :

• $\alpha$ un réel quelconque ;
• les points $A(1;1;0)$, $B(2;1;0)$ et $C(\alpha ;3;\alpha )$ ;
• $(d)$ la droite dont une représentation paramétrique est :

$$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=-t\end{array},t\in \mathbb{R}$$

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : Pour toutes les valeurs de $\alpha$, les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.

Affirmation 2 : Il existe exactement une valeur de $\alpha$ telle que les droites $(AC)$ et $(d)$ soient parallèles.

Affirmation 3 : Une mesure de l'angle $\widehat{OAB}$ est $135°$.

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$ est le point $H(1;2;2)$.

Affirmation 5 : La sphère de centre $O$ et de rayon $1$ rencontre la droite $(d)$ en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $r$ de $\Omega$.