Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Transmission d'une donnée binaire, probabilités et suite

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $1 0^{- 3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 devient 1).

La transmission est fidèle dans 90 % des cas, et donc contraire dans 10 % des cas.

Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.

Partie A

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ , on note :

$V_{n}$ l'événement « la $n$ -ième machine détient la valeur 1 » ;
$V_{n}$ l'événement « la $n$ -ième machine détient la valeur 0 ».

1. a. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

b. Démontrer que $P (V_{3}) = 0, 82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

c. Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la première machine ait transmis la valeur 1.

2. Pour tout entier naturel $n \geq 1$ , on note $p_{n} = P (V_{n})$ . La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_{1} = 1$ .

a. Démontrer que pour tout entier naturel $n \geq 1$ :

$p_{n + 1} = 0, 8 p_{n} + 0, 1.$

b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 1$ ,

$p_{n} = 0, 5 \times 0, 8^{n - 1} + 0, 5.$

c. Calculer la limite de $p_{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction simulation qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction. On rappelle que l'instruction rand() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $[0; 1 [$ .

1   def simulation(n):
2       donnee = 1
3       liste = [donnee]
4       for k in range(n):
5           if rand() <0.1
6               donnee = 1 - donnee
7           liste.append(donnee)
8
9       return liste

Par exemple, simulation(3) peut renvoyer [1, 0, 0, 1]. Cette liste traduit :

qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines ;
la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ;
la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième ;
la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.

1. Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.

2. Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste $[1, 1, 1, 1]$ et la probabilité que simulation(6) renvoie la liste $[1, 0, 1, 0, 0, 1]$ .

Corrigé

Partie A

1. a. D'après l'énoncé, on a donc : $P (V_{1}) = 1$ et, pour tout $n$ naturel supérieur ou égal à 2 : $P_{V_{n - 1}} (V_{n}) = 0, 9$ et aussi $P_{V_{n - 1}} (V_{n}) = 0, 9$ (une transmission fidèle, c'est quand les machines $n - 1$ et $n$ détiennent la même valeur).

(figure : arbre partant de $V_{1}$ ; depuis $V_{2}$ : $V_{3}$ avec $0, 9$ et $V_{3}$ avec $0, 1$ ; depuis $V_{2}$ : $V_{3}$ avec $0, 1$ et $V_{3}$ avec $0, 9$ ; branche $V_{1} \to V_{2}$ : $0, 9$ et $V_{1} \to V_{2}$ : $0, 1$ )

b. Les événements $V_{2}$ et $V_{2}$ partitionnent l'univers, donc, d'après la loi des probabilités totales :

$P (V_{3}) = P (V_{2} \cap V_{3}) + P (V_{2} \cap V_{3}) = 0, 9 \times 0, 9 + 0, 1 \times 0, 1 = 0, 81 + 0, 01 = 0, 82.$

On arrive bien à $P (V_{3}) = 0, 82$ .

c. On demande de calculer $P_{V_{3}} (V_{2})$ . D'après la définition, on a :

$P_{V_{3}} (V_{2}) = \frac{P ( V _{3} \cap V _{2} )}{P ( V _{3} )} = \frac{0 , 9 \times 0 , 9}{0 , 82} = \frac{81}{82} \approx 0, 988.$

À $1 0^{- 3}$ près, la probabilité que la machine 2 détienne 1, sachant que la machine 3 détient 1, est d'environ $0, 988$ .

2. a. Soit $n$ un entier naturel non nul. Les événements $V_{n}$ et $V_{n}$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la loi des probabilités totales :

$p_{n + 1} = P (V_{n + 1}) = P (V_{n + 1} \cap V_{n}) + P (V_{n + 1} \cap V_{n}) = P_{V_{n}} (V_{n + 1}) \times P (V_{n}) + P_{V_{n}} (V_{n + 1}) \times P (V_{n}) = 0, 9 \times p_{n} + 0, 1 \times (1 - p_{n}) = 0, 9 p_{n} + 0, 1 - 0, 1 p_{n} = 0, 8 p_{n} + 0, 1$

On arrive donc bien à la relation de récurrence annoncée pour la suite $(p_{n})$ .

b. Pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose : $P_{n}$ est l'affirmation « $p_{n} = 0, 5 \times 0, 8^{n - 1} + 0, 5$ ».

Initialisation : on a, d'après l'énoncé, $p_{1} = 1$ , et, par ailleurs, on a $0, 5 \times 0, 8^{1 - 1} + 0, 5 = 0, 5 + 0, 5 = 1$ . On constate donc que l'affirmation $P_{1}$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ naturel non nul tel que l'affirmation $P_{n}$ est vraie, soit $p_{n} = 0, 5 \times 0, 8^{n - 1} + 0, 5$ . Alors :

$\Rightarrow 0, 8 p_{n} = 0, 5 \times 0, 8^{n - 1} \times 0, 8 + 0, 5 \times 0, 8 \Rightarrow 0, 8 p_{n} = 0, 5 \times 0, 8^{n} + 0, 4 \Rightarrow 0, 8 p_{n} + 0, 1 = 0, 5 \times 0, 8^{n} + 0, 4 + 0, 1 \Rightarrow 0, 8 p_{n} + 0, 1 = 0, 5 \times 0, 8^{n} + 0, 5 \Rightarrow p_{n + 1} = 0, 5 \times 0, 8^{n} + 0, 5 c’est P_{n + 1}$

Conclusion : on a prouvé que l'affirmation $P_{1}$ est vraie ; et que, $n$ étant un naturel non nul, la véracité de $P_{n}$ entraîne celle de $P_{n + 1}$ . En vertu du principe de récurrence, on peut donc conclure que :

$\forall n \in N^{*}, p_{n} = 0, 5 \times 0, 8^{n - 1} + 0, 5.$

c. Pour tout $n$ entier naturel non nul, on a : $0, 5 \times 0, 8^{n - 1} = \frac{0 , 5}{0 , 8} \times 0, 8^{n} = 0, 625 \times 0, 8^{n}$ .

Comme on a $- 1 < 0, 8 < 1$ , la propriété des limites de suites géométriques donne $n \to + \infty lim 0, 8^{n} = 0$ , puis $n \to + \infty lim 0, 625 \times 0, 8^{n} = 0$ .

Puis, par limite de la somme, on a :

$n \to + \infty lim p_{n} = n \to + \infty lim (0, 625 \times 0, 8^{n} + 0, 5) = 0, 5 .$

Ainsi, quand le nombre de machines tend vers plus l'infini, la probabilité que la dernière machine détienne la valeur 1 tend vers 0,5.

Partie B

1. L'instruction de la ligne 5 est une instruction conditionnelle : elle indique que l'instruction de la ligne suivante ne s'exécutera que si le test rand() < 0.1 renvoie la valeur True.

Or, l'instruction rand() renvoie un nombre aléatoire dans $[0; 1 [$ , donc la probabilité que ce nombre soit strictement inférieur à 0,1, c'est-à-dire dans l'intervalle $[0; 0, 1 [$ , est proportionnelle à l'amplitude de cet intervalle ; la probabilité que cela arrive est donc de $\frac{0 , 1 - 0}{1 - 0} = 0, 1$ .

La ligne 5 va rendre l'exécution de la ligne 6 aléatoire, avec une probabilité que la ligne 6 s'exécute égale à 0,1.

C'est-à-dire que la ligne 6 doit avoir pour effet de « mal transmettre » la dernière donnée détenue, qui est traduite par la variable donnee. Cette variable contient 0 ou 1. Si elle contenait 0, après la ligne 6 elle contiendra $1 - 0 = 1$ , soit la valeur contraire. Si elle contenait 1, après la ligne 6 elle contiendra $1 - 1 = 0$ , là encore la valeur contraire.

La ligne 6 a donc pour effet de modifier la donnée, pour simuler une transmission contraire.

2. Si l'appel simulation(4) renvoie $[1, 1, 1, 1]$ , cela signifie que l'on a eu 4 transmissions fidèles, entre 5 machines. La probabilité que cela arrive est donc :

$0, 9 \times 0, 9 \times 0, 9 \times 0, 9 = 0, 9^{4} = 0, 6561 \approx 0, 656.$

De façon analogue, l'appel simulation(6) renvoie une simulation de 6 transmissions entre 7 machines. Si l'appel renvoie $[1, 0, 1, 0, 0, 1]$ , cela signifie que les trois premières transmissions sont contraires (de 1 à 0, puis de 0 à 1, puis de 1 à 0), la quatrième transmission est fidèle (de 0 à 0), la cinquième est contraire (de 0 à 1) et la sixième et dernière est fidèle (de 1 à 1). La probabilité que cela arrive est donc :

$0, 1 \times 0, 1 \times 0, 1 \times 0, 9 \times 0, 1 \times 0, 9 = 0, 9^{2} \times 0, 1^{4} = 8, 1 \times 1 0^{- 5} \approx 0, 000.$

À $1 0^{- 3}$ près, la probabilité d'obtenir $[1, 1, 1, 1]$ est d'environ $0, 656$ et celle d'obtenir $[1, 0, 1, 0, 0, 1]$ est d'environ $0, 000$ .

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