Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Urnes, billets et inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.
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Énoncé
On dispose d'un sac de deux urnes A et B.
— Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.
— L'urne A contient 5 billets : 3 billets de 50 euros et 2 billets de 10 euros.
— L'urne B contient 4 billets : 1 billet de 50 euros et 3 billets de 10 euros.
Un joueur prend au hasard une boule dans le sac :
— si c'est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l'urne A ;
— si c'est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l'urne B.
On note les événements suivants :
— : le joueur obtient une boule avec la lettre A.
— : le joueur obtient un billet de 50 euros.
1. Recopier et compléter l'arbre ci-contre représentant la situation.
2. Quelle est la probabilité de l'événement « » ?
3. Démontrer que la probabilité est égale à .
4. Le joueur a obtenu un billet de 10 euros.
L'affirmation « » est-elle vraie ? Justifier.
5. On note la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur.
Exemple : si le joueur obtient un billet de , on a .
Montrer que l'espérance est égale à et que la variance est égale à .
6. Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note la variable aléatoire qui donne la somme obtenue lors de la deuxième partie.
On note la variable aléatoire ainsi définie : .
a. Montrer que .
b. Expliquer pourquoi on a .
7. Le joueur joue de même une troisième, une quatrième, …, une centième partie. On définit donc de la même façon les variables aléatoires , , …, .
On note la variable aléatoire définie par .
Démontrer que la probabilité que appartienne à l'intervalle est supérieure ou égale à .
Corrigé
1. On complète l'arbre représentant la situation. (figure : arbre pondéré ; branches puis et ; branches puis et )
2. L'événement « le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de 50 euros » est .
3. Les événements et forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales, on a :
4. On doit calculer la probabilité :
La probabilité que le joueur ait pris une boule avec la lettre B sachant qu'il a obtenu un billet de 10 euros est environ . L'affirmation est donc vraie.
5. La loi de probabilité de est donnée par le tableau suivant :
(tableau : avec ; avec )
L'espérance de est donc :
La variance de est donc :
6. a. On sait que l'espérance d'une somme de variables aléatoires est égale à la somme des espérances : or et suivent la même loi, donc :
b. Puisque la boule et le billet ont été remis, les deux étapes sont indépendantes, donc les variables aléatoires et sont indépendantes. Or on sait que la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances (propriété de l'additivité). On a donc :
7. On définit de la même façon les variables aléatoires , , …, .
Pour les mêmes raisons que dans la question précédente, on a :
Pour tout réel strictement positif, on a : .
C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
En passant à l'événement contraire : . Donc avec :
Or , donc :
La probabilité que appartienne à l'intervalle est \boxed{\text{supérieure ou égale à }0{,}75}.