Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 1 : Urnes, billets et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

On dispose d'un sac de deux urnes A et B.

— Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.

— L'urne A contient 5 billets : 3 billets de 50 euros et 2 billets de 10 euros.

— L'urne B contient 4 billets : 1 billet de 50 euros et 3 billets de 10 euros.

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac :

— si c'est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l'urne A ;

— si c'est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l'urne B.

On note les événements suivants :

— $A$ : le joueur obtient une boule avec la lettre A.

— $C$ : le joueur obtient un billet de 50 euros.

1. Recopier et compléter l'arbre ci-contre représentant la situation.

2. Quelle est la probabilité de l'événement « $l e j o u e u r o b t i e n t u n e b o u l e a v ec l a l e tt r e A e t u n bi l l e t d e 50 €$ » ?

3. Démontrer que la probabilité $P (C)$ est égale à $0, 3375$ .

4. Le joueur a obtenu un billet de 10 euros.

L'affirmation « $I l y a pl u s d e 80 % d e c han ces q u^{'} i l ai t a u p r e ˊ a l ab l e o b t e n u u n e b o u l e a v ec l a l e tt r e B$ » est-elle vraie ? Justifier.

5. On note $X_{1}$ la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur.

Exemple : si le joueur obtient un billet de $50 €$ , on a $X_{1} = 50$ .

Montrer que l'espérance $E (X_{1})$ est égale à $23, 50$ et que la variance $V (X_{1})$ est égale à $357, 75$ .

6. Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note $X_{2}$ la variable aléatoire qui donne la somme obtenue lors de la deuxième partie.

On note $Y$ la variable aléatoire ainsi définie : $Y = X_{1} + X_{2}$ .

a. Montrer que $E (Y) = 47$ .

b. Expliquer pourquoi on a $V (Y) = V (X_{1}) + V (X_{2})$ .

7. Le joueur joue de même une troisième, une quatrième, …, une centième partie. On définit donc de la même façon les variables aléatoires $X_{3}$ , $X_{4}$ , …, $X_{100}$ .

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{100}$ .

Démontrer que la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $] 1950; 2750 [$ est supérieure ou égale à $0, 75$ .

Corrigé

1. On complète l'arbre représentant la situation. (figure : arbre pondéré ; branches $P (A) = 0, 25$ puis $P_{A} (C) = 0, 6$ et $P_{A} (C) = 0, 4$ ; branches $P (A) = 0, 75$ puis $P_{A} (C) = 0, 25$ et $P_{A} (C) = 0, 75$ )

2. L'événement « le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de 50 euros » est $A \cap C$ . $P (A \cap C) = P (A) \times P_{A} (C) = 0, 25 \times 0, 6 = 0, 15$

3. Les événements $A$ et $A$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales, on a : $P (C) = P (A \cap C) + P (A \cap C) = P (A) \times P_{A} (C) + P (A) \times P_{A} (C)$ $= 0, 15 + 0, 75 \times 0, 25 = 0, 15 + 0, 1875 = 0, 3375$

4. On doit calculer la probabilité $P_{C} (A)$ : $P_{C} (A) = \frac{P ( A \cap C )}{P ( C )} = \frac{P ( A ) \times P _{A} ( C )}{1 - P ( C )} = \frac{0 , 75 \times 0 , 75}{1 - 0 , 3375} = \frac{0 , 5625}{0 , 6625} = \frac{45}{53} \approx 0, 85$

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