Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Droite d'Euler dans un cube

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

Exercice 2 — 5 points

Dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est la droite qui passe par les trois points suivants :

le centre du cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets de ce triangle),
le centre de gravité de ce triangle (à l'intersection des médianes de ce triangle),
l'orthocentre de ce triangle (situé à l'intersection des hauteurs de ce triangle).

Le but de l'exercice est d'étudier un exemple de droite d'Euler.

On considère un cube $A B C D E F G H$ de côté une unité.

L'espace est muni du repère orthonormé $(A; A B; A D; A E)$ .

On note $I$ le milieu du segment $[A B]$ et $J$ le milieu du segment $[B G]$ .

1. Donner sans justification les coordonnées des points $A$ , $B$ , $G$ , $I$ et $J$ .

2.a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(A J)$ .

2.b) Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(I G)$ est : $⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} t y = t z = t avec t \in R .$

2.c) Démontrer que les droites $(A J)$ et $(I G)$ sont sécantes en un point $S$ de coordonnées $S (\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ .

3.a) Montrer que le vecteur $n (0; - 1; 1)$ est normal au plan $(A B G)$ .

3.b) En déduire une équation cartésienne du plan $(A B G)$ .

3.c) On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(d)$ de vecteur directeur $n$ et passant par le point $K$ de coordonnées $(\frac{1}{2}; 0; 1)$ est : $⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{1}{2} y = - t z = 1 + t avec t \in R .$ Montrer que cette droite $(d)$ coupe le plan $(A B G)$ en un point $L$ de coordonnées $L (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

3.d) Montrer que le point $L$ est équidistant des points $A$ , $B$ et $G$ .

4. Montrer que le triangle $A B G$ est rectangle en $B$ .

5.a) Identifier le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre du triangle $A B G$ (aucune justification n'est attendue).

5.b) Vérifier par un calcul que ces trois points sont effectivement alignés.

Corrigé

1. $A (0; 0; 0)$ ; $B (1; 0; 0)$ ; $G (1; 1; 1)$ ; $I (\frac{1}{2}; 0; 0)$ ; $J (1; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

2.a) La droite $(A J)$ est l'ensemble des points $M (x; y; z)$ tels que $A M$ et $A J$ sont colinéaires, c'est-à-dire tels que $A M = k A J$ avec $k \in R$ .

$A M$ a pour coordonnées $(x; y; z)$ et $A J$ a pour coordonnées $(1; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

$A M = k A J ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = k y = \frac{k}{2} z = \frac{k}{2}$

La droite $(A J)$ a donc pour représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = k y = \frac{k}{2} z = \frac{k}{2}$ avec $k \in R$ .

2.b) $⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} t y = t z = t$ ( $t \in R$ ) est la représentation paramétrique d'une droite passant par le point de coordonnées $(\frac{1}{2}; 0; 0)$ , c'est-à-dire le point $I$ , et ayant le vecteur de coordonnées $(\frac{1}{2}; 1; 1)$ pour vecteur directeur.

$I G$ a pour coordonnées $(1 - \frac{1}{2}; 1 - 0; 1 - 0) = (\frac{1}{2}; 1; 1)$ .

Donc $⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} t y = t z = t$ ( $t \in R$ ) est une représentation paramétrique de la droite $(I G)$ .

2.c) Les droites $(A J)$ et $(I G)$ sont sécantes si et seulement si on peut trouver un couple de réels $(k; t)$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ k = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} t \frac{1}{2} k = t \frac{1}{2} k = t$ . On résout ce système.

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