Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Étude de la fonction x ln(x-2) : variations et convexité

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 2; + \infty [$ par :

$f (x) = x ln (x - 2) .$

Une partie de la courbe représentative $C_{f}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

(figure : courbe représentative $C_{f}$ de la fonction $f$ )

1. Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$ , ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.

2. Résoudre l'équation $f (x) = 0$ sur $] 2; + \infty [$ .

3. Calculer $x \to 2 x > 2 lim f (x)$ . Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1.?

4. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $] 2; + \infty [$ :

$f^{'} (x) = ln (x - 2) + \frac{x}{x - 2} .$

5. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] 2; + \infty [$ par $g (x) = f^{'} (x)$ .

a. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $] 2; + \infty [$ , on a :

$g^{'} (x) = \frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}} .$

b. On admet que $x \to 2 x > 2 lim g (x) = + \infty$ et que $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ . En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $] 2; + \infty [$ . On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$ .

c. En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $] 2; + \infty [$ , $g (x) > 0$ .

d. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $] 2; + \infty [$ .

6. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $] 2; + \infty [$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$ .

7. Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3 ?

Corrigé

1. Par lecture graphique, il semble que :

la fonction $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition ;
$x \to 2 x > 2 lim f (x) = - \infty$ , $C_{f}$ semblant présenter une asymptote d'équation $x = 2$ ;
$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .

2. Résolvons l'équation sur $] 2; + \infty [$ :

$f (x) = 0 ⟺ x ln (x - 2) = 0 ⟺ x = 0 ou bien ln (x - 2) = 0 (r e ˋ gle du produit nul) ⟺ ln (x - 2) = 0 car x > 2 donc x \neq = 0 ⟺ exp (ln (x - 2)) = exp (0) car exp est strictement croissante sur R ⟺ x - 2 = 1 ⟺ x = 3$

L'équation a donc une unique solution : $x = 3$ .

3. On a $x - 2 \to 0^{+}$ et donc, en posant $y = x - 2$ , par composition, on en déduit :

$x \to 2 x > 2 lim ln (x - 2) = y \to 0 y > 0 lim ln (y) = - \infty.$

Par ailleurs, $x \to 2 x > 2 lim x = 2$ , donc, par limite du produit :

$x \to 2 x > 2 lim (x \times ln (x - 2)) = - \infty.$

Cela confirme à la fois la conjecture sur la limite en 2 (en effet, comme $f$ n'est définie que sur $] 2; + \infty [$ , la limite en 2 est cette limite à droite en 2) et la conjecture sur l'asymptote d'équation $x = 2$ , qui est l'interprétation graphique de cette limite.

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