Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Étude de la fonction x ln(x-2) : variations et convexité

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 2; + \infty [$ par :

$f (x) = x ln (x - 2) .$

Une partie de la courbe représentative $C_{f}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

(figure : courbe représentative $C_{f}$ de la fonction $f$ )

1. Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$ , ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.

2. Résoudre l'équation $f (x) = 0$ sur $] 2; + \infty [$ .

3. Calculer $x \to 2 x > 2 lim f (x)$ . Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1.?

4. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $] 2; + \infty [$ :

$f^{'} (x) = ln (x - 2) + \frac{x}{x - 2} .$

5. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] 2; + \infty [$ par $g (x) = f^{'} (x)$ .

a. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $] 2; + \infty [$ , on a :

$g^{'} (x) = \frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}} .$

b. On admet que $x \to 2 x > 2 lim g (x) = + \infty$ et que $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ . En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $] 2; + \infty [$ . On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$ .

c. En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $] 2; + \infty [$ , $g (x) > 0$ .

d. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $] 2; + \infty [$ .

6. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $] 2; + \infty [$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$ .

7. Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3 ?

Corrigé

1. Par lecture graphique, il semble que :

la fonction $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition ;
$x \to 2 x > 2 lim f (x) = - \infty$ , $C_{f}$ semblant présenter une asymptote d'équation $x = 2$ ;
$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .

2. Résolvons l'équation sur $] 2; + \infty [$ :

$f (x) = 0 ⟺ x ln (x - 2) = 0 ⟺ x = 0 ou bien ln (x - 2) = 0 (r e ˋ gle du produit nul) ⟺ ln (x - 2) = 0 car x > 2 donc x \neq = 0 ⟺ exp (ln (x - 2)) = exp (0) car exp est strictement croissante sur R ⟺ x - 2 = 1 ⟺ x = 3$

L'équation a donc une unique solution : $x = 3$ .

3. On a $x - 2 \to 0^{+}$ et donc, en posant $y = x - 2$ , par composition, on en déduit :

$x \to 2 x > 2 lim ln (x - 2) = y \to 0 y > 0 lim ln (y) = - \infty.$

Par ailleurs, $x \to 2 x > 2 lim x = 2$ , donc, par limite du produit :

$x \to 2 x > 2 lim (x \times ln (x - 2)) = - \infty.$

Cela confirme à la fois la conjecture sur la limite en 2 (en effet, comme $f$ n'est définie que sur $] 2; + \infty [$ , la limite en 2 est cette limite à droite en 2) et la conjecture sur l'asymptote d'équation $x = 2$ , qui est l'interprétation graphique de cette limite.

4. Soit $u : x \mapsto x - 2$ , alors $u^{'} : x \mapsto 1$ . Ainsi $x \mapsto ln (x - 2)$ est la composée $ln \circ u$ et donc se dérive en $x \mapsto \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} = \frac{1}{x - 2}$ .

On dérive un produit de fonctions dérivables sur $] 2; + \infty [$ . Pour tout réel strictement supérieur à 2, on a :

$f^{'} (x) = 1 \times ln (x - 2) + x \times \frac{1}{x - 2} = ln (x - 2) + \frac{x}{x - 2} .$

On arrive bien à l'expression annoncée pour $f^{'} (x)$ .

5. a. On a :

$g^{'} (x) = f^{''} (x) = \frac{1}{x - 2} + \frac{1 \times ( x - 2 ) - x \times 1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{x - 2} + \frac{- 2}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x - 2}{( x - 2 ) ^{2}} + \frac{- 2}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}} .$

On arrive bien à la forme demandée.

b. $g^{'} (x)$ est le quotient de $(x - 4)$ par $(x - 2)^{2}$ . Le dénominateur étant le carré d'un réel non nul, il est strictement positif, donc $g^{'} (x)$ a le signe de $(x - 4)$ . On peut donc établir le tableau de variations suivant :

(tableau de variations de $g$ sur $] 2; + \infty [$ : $g^{'} (x)$ est négative sur $] 2; 4 [$ , nulle en $4$ , positive sur $] 4; + \infty [$ ; $g$ décroît de $+ \infty$ jusqu'au minimum $g (4) = 2 + ln (2)$ atteint en $x = 4$ , puis croît vers $+ \infty$ )

On a : $g (4) = f^{'} (4) = ln (4 - 2) + \frac{4}{4 - 2} = ln (2) + \frac{4}{2} = 2 + ln (2)$ .

c. En observant le tableau de variations précédent : $2 > 1 \Rightarrow ln (2) > 0$ , donc $g (4) > 0$ . Les variations de $g$ indiquent que $g$ atteint un minimum égal à $g (4) > 0$ , pour $x = 4$ . On en déduit que la fonction $g$ est à valeurs strictement positives sur $] 2; + \infty [$ , et donc que pour tout $x$ appartenant à $] 2; + \infty [$ , $g (x) > 0$ .

d. Puisque $g$ est la fonction dérivée $f^{'}$ , on en déduit que $f^{'}$ est à valeurs strictement positives sur $] 2; + \infty [$ , et donc que $f$ est strictement croissante sur $] 2; + \infty [$ .

6. On a établi les variations de $g = f^{'}$ à la question 5. b. :

sur $] 2; 4 [$ , $f^{'}$ est décroissante, donc $f$ est concave ;
sur $] 4; + \infty [$ , $f^{'}$ est croissante, donc $f$ est convexe.

$f$ change de convexité en $x = 4$ , donc le point de coordonnées $(4; f (4))$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $C_{f}$ . On a $f (4) = 4 \times ln (4 - 2) = 4 ln (2) = ln (2^{4}) = ln (16)$ .

Les coordonnées exactes du point d'inflexion sont $(4; ln (16))$ .

7. $C_{f}$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3 au point d'abscisse $x$ si et seulement si $f^{'} (x) = 3$ , ou encore $g (x) = 3$ . On a $g (4) = 2 + ln (2) \approx 2, 7$ . On a alors :

Sur $] 2; 4]$ , $g$ est strictement décroissante et continue (car dérivable), et 3 est une valeur strictement comprise entre $x \to 2 x > 2 lim g (x) = + \infty$ et $g (4) \approx 2, 7$ . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, il existe une unique solution à l'équation $g (x) = 3$ dans l'intervalle $] 2; 4]$ , notée $α$ .
De façon analogue, sur $[4; + \infty [$ , $g$ est strictement croissante et continue (car dérivable), et 3 est une valeur strictement comprise entre $g (4) \approx 2, 7$ et $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ . Il existe aussi une unique solution à l'équation $g (x) = 3$ dans l'intervalle $[4; + \infty [$ , notée $β$ .

Ainsi, l'équation $f^{'} (x) = 3$ , équivalente à $g (x) = 3$ , admet exactement deux solutions $α$ et $β$ sur $] 2; + \infty [$ . Il y a donc exactement $deux valeurs de x$ (à savoir $α$ et $β$ ) pour lesquelles la tangente à $C_{f}$ a un coefficient directeur égal à 3.

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