Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Fonction logistique, dérivée, intégrale et valeur moyenne

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{1}{a + e ^{- b x}}$

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $C_{f}$ ci-dessous :

(figure : courbe $C_{f}$ croissante passant par les points $A (0; 0, 5)$ et $B (0; 1)$ , avec une asymptote horizontale d'ordonnée 1 ; la droite $(A B)$ est tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A$ .)

On considère les points $A (0; 0, 5)$ et $B (10; 1)$ .

On admet que la droite $(A B)$ est tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A$ .

1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f (10)$ .

2. On admet que $x \to + \infty lim f (x) = 1$ .

Donner une interprétation graphique de ce résultat.

3. Justifier que $a = 1$ .

4. Déterminer le coefficient directeur de la droite $(A B)$ .

5. a. Déterminer l'expression de $f^{'} (x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$ .

b. En déduire la valeur de $b$ .

Partie B

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{1}{1 + e ^{- 0, 2 x}} .$

1. Déterminer $x \to + \infty lim f (x)$ .

2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

3. Montrer qu'il existe un unique réel $α$ positif tel que $f (α) = 0, 97$ .

4. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $α$ par deux nombres entiers consécutifs.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Partie C

1. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0; + \infty [$ , $f (x) = \frac{e ^{0, 2 x}}{1 + e ^{0, 2 x}}$ .

2. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

3. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 40]$ , c'est-à-dire :

$I = \frac{1}{40} \int_{0}^{40} \frac{1}{1 + e ^{- 0, 2 x}} d x .$

On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.

Corrigé

Partie A

1. $1970 - 1960 = 10$ . Donc on lit $f (10)$ .

$f (10) \approx 0, 9$

2. Si $x \to + \infty lim f (x) = 1$ alors $C_{f}$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = 1$ au voisinage de $+ \infty$ .

3. $f (0) = \frac{1}{2}$ donc $\frac{1}{a + 1} = \frac{1}{2} ⟺ a + 1 = 2 ⟺ a = 1$ .

$a = 1$

4. Soit $m$ ce coefficient directeur : $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{0 , 5}{10} = 0, 05$ .

$m = 0, 05$

5. a. La fonction $f$ est continue et dérivable sur $[0; + \infty [$ , $f (x)$ est de la forme $\frac{1}{u ( t )}$ , de dérivée $- \frac{u ^{'} ( t )}{u ^{2} ( t )}$ . Donc en posant $u (t) = a + e^{- b t}$ , $u^{'} (t) = - b e^{- b t}$ , $\forall t \in [0; + \infty [$ ,

$f^{'} (t) = \frac{- b e ^{- b t}}{( 1 + e ^{- b t} ) ^{2}} = \frac{b e ^{- b t}}{( 1 + e ^{- b t} ) ^{2}} .$

b. Le nombre dérivé de $f$ en 0 est égal à la pente de la droite $(A B)$ , tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse 0. Donc $f^{'} (0) = 0, 05$ donc $\frac{b}{2 ^{2}} = 0, 05$ donc $b = 4 \times 0, 05 = 0, 2$ .

$b = 0, 2$

Partie B

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par : $f (x) = \frac{1}{1 + e ^{- 0, 2 x}}$ .

1. $x \to + \infty lim e^{- 0, 2 x} = 0$ (par composition). Donc $x \to + \infty lim f (x) = 1$ .

2. La fonction $f$ est continue et dérivable sur $[0; + \infty [$ , de la forme $\frac{1}{u ( t )}$ , de dérivée $- \frac{u ^{'} ( t )}{u ^{2} ( t )}$ .

Donc en posant $u (t) = 1 + e^{- 0, 2 t}$ , $u^{'} (t) = - 0, 2 e^{- 0, 2 t}$ , $\forall t \in [0; + \infty [$ , $f^{'} (t) = - \frac{- 0 , 2 e ^{- 0, 2 t}}{( 1 + e ^{- 0, 2 t} ) ^{2}}$

soit $f^{'} (t) = \frac{0 , 2 e ^{- 0, 2 t}}{( 1 + e ^{- 0, 2 t} ) ^{2}}$ .

$\forall t \in [0; + \infty [$ , $0, 2 e^{- 0, 2 t} > 0$ et $(1 + e^{- 0, 2 t})^{2} > 0$ donc $f^{'} (t) > 0$ donc $f$ croissante sur $[0; + \infty [$ .

$f est strictement croissante sur [0; + \infty [$

3. On a $f (0) = \frac{1}{2}$ et $t \to + \infty lim f (t) = 1$ .

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0; + \infty [$ ; $0, 97$ à valeurs dans $] \frac{1}{2}; 1 [$ . Or $0, 97 \in] \frac{1}{2}; 1 [$ , donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f (x) = 0, 97$ admet une unique solution $α$ dans l'intervalle $[0; + \infty [$ .

4. Avec la calculatrice $α \approx 17, 4$ donc $17 < α < 18$ .

Partie C

1. $\forall x \in [0; + \infty [$ , $f (x) = \frac{1}{1 + e ^{- 0, 2 x}}$ . En multipliant numérateur et dénominateur par $e^{0, 2 x}$ , on obtient : $f (x) = \frac{e ^{0, 2 x}}{e ^{0, 2 x} ( 1 + e ^{- 0, 2 x} )} = \frac{e ^{0, 2 x}}{e ^{0, 2 x} + 1} = \frac{e ^{0, 2 x}}{1 + e ^{0, 2 x}}$ .

2. $f$ est de la forme $\frac{u ^{'} ( t )}{u ( t )}$ , de primitive $ln (u (t))$ (avec $u$ fonction strictement positive car les deux termes du quotient sont strictement positifs), soit $u (t) = 1 + e^{0, 2 t}$ et $u^{'} (t) = 0, 2 e^{0, 2 t} = 5 \times \frac{0 , 2 e ^{0, 2 t}}{1 + e ^{0, 2 t}}$ .

En écrivant $f (t) = \frac{e ^{0, 2 t}}{1 + e ^{0, 2 t}} = \frac{1}{0 , 2} \times \frac{0 , 2 e ^{0, 2 t}}{1 + e ^{0, 2 t}} = 5 \times \frac{0 , 2 e ^{0, 2 t}}{1 + e ^{0, 2 t}}$ , on détermine la fonction $F$ , une primitive de $f$ : $F (x) = 5 ln (1 + e^{0, 2 x})$ pour $t \in [0; + \infty [$ .

3. $I = \frac{1}{40} \int_{0}^{40} \frac{1}{1 + e ^{- 0, 2 x}} d x = \frac{1}{40} \int_{0}^{40} \frac{e ^{0, 2 x}}{1 + e ^{0, 2 x}} d x = \frac{1}{40} [5 ln (1 + e^{0, 2 x})]_{0}^{40}$

$= \frac{5}{40} (ln (e^{8} + 1) - ln (2))$

$= \frac{1}{8} (ln (e^{8} + 1) - ln (2)) = \frac{1}{8} ln (\frac{e ^{8} + 1}{2})$ .

$I = \frac{1}{8} ln (\frac{e ^{8} + 1}{2}) \approx 0, 913$

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