Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Géométrie dans un cube

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

5 points

On considère le cube ABCDEFGH.

On place le point M tel que $BM = AB$ .

Partie A

1. Montrer que les droites (FG) et (FM) sont perpendiculaires.

2. Montrer que les points A, M, G et H sont coplanaires.

Partie B

On se place dans le repère orthonormé $(A; AB, AD, AE)$ .

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $GM$ et $AH$ et montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.

2. a. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (GM) est :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 1 - t avec t \in R . z = 1 - t$

b. On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (AH) est :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 0 y = k avec k \in R . z = k$

Montrer que le point d'intersection de (GM) et (AH), que l'on nommera N, a pour coordonnées $(0; 2; 2)$ .

3. a. Montrer que le triangle AMN est un triangle rectangle en A.

b. Calculer l'aire de ce triangle.

4. Soit J le centre de la face BCGF.

a. Déterminer les coordonnées du point J.

b. Montrer que le vecteur $FJ$ est un vecteur normal au plan (AMN).

c. Montrer que J appartient au plan (AMN). En déduire qu'il est le projeté orthogonal du point F sur le plan (AMN).

5. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre ou d'une pyramide est donné par la formule :

$V = \frac{1}{3} \times B \times h,$

$B$ étant l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

Montrer que le volume du tétraèdre AMNF est le double du volume de la pyramide BCGFM.

Corrigé

Partie A

Le point M est défini par $BM = AB$ , donc il appartient à la droite (AB), et donc au plan (FAB). On en déduit que la droite (FM) est une droite incluse dans le plan (FAB).
Le plan (FAB) contient la face ABFE du cube. Comme les faces du cube ABFE et BCGF sont carrés, on en déduit que la droite (FG) est perpendiculaire à la droite (EF) (via le carré EFGH) et à la droite (FB) (via le carré BCGF). Ainsi, (FG) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (FAB) : on en déduit que (FG) est orthogonale au plan (FAB).
Puisque (FG) est orthogonale à (FAB), elle est donc également orthogonale à toute droite du plan (FAB), notamment la droite (FM).
Comme F est un point d'intersection entre (FB) et (FM), les droites sont sécantes en F, et étant orthogonales et sécantes, on peut donc conclure que les droites sont bien perpendiculaires.

On a déjà établi que M est un point de la droite (AB), avec : $AM = AB + BM = 2 AB$ .
Comme ABCDEFGH est un cube, on a notamment : $HG = AB$ .
On en déduit donc : $AM = 2 HG$ .
Les droites (AM) et (HG) sont donc dirigées par des vecteurs directeurs colinéaires : donc elles sont parallèles, et donc coplanaires.
cela implique que les quatre points A, M, H et G sont également coplanaires.

Partie B

Le repère $(A; AB, AD, AE)$ est un repère orthonormé de l'espace : les vecteurs de base sont deux à deux orthogonaux et de même norme, car ils sont basés sur les arêtes consécutives d'un cube.

On a alors les coordonnées : $A (0; 0; 0)$ ; $B (1; 0; 0)$ ; $C (1; 1; 0)$ ; $D (0; 1; 0)$ ; $E (0; 0; 1)$ ; $F (1; 0; 1)$ ; $G (1; 1; 1)$ ; $H (0; 1; 1)$ et $M (2; 0; 0)$ .

1. On a : $GM = 2 - 1 0 - 1 0 - 1 = 1 - 1 - 1$ et, comme A est l'origine du repère, les coordonnées de H sont aussi celles du vecteur $AH = 011$ .

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