Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Population d'une espèce animale : modèles par équations différentielles

On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle. Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant :

(tableau : Année : 2000, 2005, 2010, 2015 ; Nombre d'individus : 50, 64, 80, 100.)

Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d'individus en fonction du temps. Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l'intervalle $[0;+\infty [$, dont la variable $x$ représente le temps écoulé, en année, à partir de l'année 2000. Dans son modèle, l'image de $0$ par cette fonction vaut $50$, ce qui correspond au nombre d'individus en l'an 2000.

Partie A. Modèle 1

Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante : $$y^{\prime }=0,05y-0,5(E_1)$$

1. Résoudre l'équation différentielle $(E_1)$ avec la condition initiale $y(0)=50$.

2. Comparer les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle.

Partie B. Modèle 2

Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante : $$y^{\prime }=0,05y(1-0,00125y)(E_2)$$

On note $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par : $f(x)=\frac{800}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants.

(tableau de calcul formel : ligne 1 : $f(x):=\frac{800}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}$ ; résultat $f(x)=\frac{800}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}$ ; ligne 2 : $f^{\prime }(x):=$ Dérivée $(f(x))$ ; résultat $f^{\prime }(x)=\frac{600{\mathrm{e}}^{-0,05x}}{{\left(1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}\right)}^2}$ ; ligne 3 : $f^{\prime \prime }(x):=$ Dérivée $(f^{\prime }(x))$ ; résultat $f^{\prime \prime }(x)=\frac{30{\mathrm{e}}^{-0,05x}}{{\left(1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}\right)}^3}\left(15{\mathrm{e}}^{-0,05x}-1\right)$ ; ligne 4 : Résoudre $(15{\mathrm{e}}^{-0,05x}-1⩾0)$ ; résultat $x⩽20\ln (15)$.)

Pour toute la suite de l'exercice, on pourra utiliser ces résultats sans les démontrer, sauf pour la question 5.

1. Démontrer que la fonction $f$ vérifie $f(0)=50$ et que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $$f^{\prime }(x)=0,05f(x)(1-0,00125f(x))$$

On admet que cette fonction $f$ est l'unique solution de $(E_2)$ prenant la valeur initiale de $50$ en $0$.

2. Avec ce nouveau modèle $f$, estimer l'effectif de cette population en 2050. Arrondir le résultat à l'unité.

3. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe $\mathcal{C}$ ? Interpréter cette limite dans le cadre de ce problème concret.

4. Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty [$.

5. Justifier le résultat obtenu en ligne 4 du logiciel.

6. On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f^{\prime }$.

a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty [$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.

b. La direction de la réserve affirme : « Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer. » La direction a-t-elle raison ?