Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Population d'une espèce animale : modèles par équations différentielles

Partie A. Modèle 1

1. On résout l'équation différentielle $(E_1)$ avec la condition initiale $y(0)=50$.

L'équation différentielle $y^{\prime }=ay$ donne comme solutions les fonctions $y$ vérifiant $y(x)=C{\mathrm{e}}^{ax}$ où $C$ est un réel quelconque.

Donc l'équation différentielle $y^{\prime }=0,05y$ a pour solutions les fonctions $y$ vérifiant $y(x)=C{\mathrm{e}}^{0,05x}$ où $C$ est un réel quelconque.

On cherche une solution particulière constante $k$ à l'équation $(E_1)$. On a alors $0=0,05k-0,5$ donc $k=10$.

Les solutions de l'équation $(E_1)$ sont donc les fonctions $y$ définies par $y(x)=C{\mathrm{e}}^{0,05x}+10$ où $C\in \mathbb{R}$.

On cherche la solution vérifiant la condition initiale $y(0)=50$.

On a alors $C{\mathrm{e}}^0+10=50$ donc $C=40$.

La solution de l'équation différentielle $(E_1)$ vérifiant $y(0)=50$ est la fonction $y$ définie par $y(x)=\boxed{40{\mathrm{e}}^{0,05x}+10}$.

2. On compare les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle.

(tableau : Année : 2000, 2005, 2010, 2015 ; Nombre d'individus : 50, 64, 80, 100 ; $x$ : 0, 5, 10, 15 ; $y(x)$ : 50, 61,36, 75,95, 94,68.)

Les valeurs données par le modèle 1 sont assez proches de celles du tableau pour les premières années, mais s'en écartent ensuite.

Partie B. Modèle 2

1. On a $f(0)=\frac{800}{1+15{\mathrm{e}}^0}=\frac{800}{16}=\boxed{50}$.

D'autre part : $$0,05f(x)=\frac{0,05\times 800}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}=\frac{40}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}$$ $$0,00125f(x)=\frac{0,00125\times 800}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}=\frac{1}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}$$ $$1-0,00125f(x)=1-\frac{1}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}=\frac{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}-1}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}=\frac{15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}$$ Donc : $$0,05f(x)(1-0,00125f(x))=\frac{40}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}\times \frac{15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}=\frac{40\times 15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}{{\left(1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}\right)}^2}$$ $$=\frac{600{\mathrm{e}}^{-0,05x}}{{\left(1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}\right)}^2}=f^{\prime }(x)\text{ d’apreˋs le tableau}$$ On admet que cette fonction $f$ est l'unique solution de $(E_2)$ prenant la valeur initiale de $50$ en $0$.

2. L'effectif de cette population en 2050 sera estimé à $f(50)$. $$f(50)=\frac{800}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05\times 50}}\approx 615,6$$ L'effectif de cette population en 2050 peut être estimé à $\boxed{616}$ individus.

3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }-0,05x=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-0,05x}=0$.

On en déduit que $\underset{x\to +\infty }{\lim }1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}=1$ et que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{800}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}}=\boxed{800}$.

Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=800$, ce qui prouve que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=800$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.

L'effectif de cette population va se stabiliser autour de $800$ individus.

4. Sur $[0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)=\frac{600{\mathrm{e}}^{-0,05x}}{{\left(1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}\right)}^2}$.

Or pour tout réel $X$, on sait que ${\mathrm{e}}^X>0$, donc ${\mathrm{e}}^{-0,05x}>0$ pour tout $x$.

${\left(1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}\right)}^2>0$ donc $f^{\prime }(x)>0$.

On en conclut que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty [$.

5. On résout l'inéquation $15{\mathrm{e}}^{-0,05x}-1⩾0$. $$15{\mathrm{e}}^{-0,05x}-1⩾0⟺15{\mathrm{e}}^{-0,05x}⩾1⟺{\mathrm{e}}^{-0,05x}⩾\frac{1}{15}⟺-0,05x⩾\ln \left(\frac{1}{15}\right)$$ $$⟺x⩽\frac{\ln \left(\frac{1}{15}\right)}{-0,05}⟺x⩽\frac{-\ln (15)}{-0,05}⟺x⩽20\ln (15)$$

6. a. D'après le tableau : $f^{\prime \prime }(x)=\frac{30{\mathrm{e}}^{-0,05x}}{{\left(1+15{\mathrm{e}}^{-0,05x}\right)}^3}\left(15{\mathrm{e}}^{-0,05x}-1\right)$.

D'après ce qui a été vu précédemment, $f^{\prime \prime }(x)$ est du signe de $\left(15{\mathrm{e}}^{-0,05x}-1\right)$.

(tableau de signes de $f^{\prime \prime }$ : pour $x\in [0;20\ln (15)[$, $15{\mathrm{e}}^{-0,05x}-1>0$ donc $f^{\prime \prime }(x)>0$ et $f$ est convexe ; en $x=20\ln (15)$, $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe ; pour $x>20\ln (15)$, $f^{\prime \prime }(x)<0$ donc $f$ est concave.)

En $x=20\ln (15)$, $f^{\prime \prime }(x)$ s'annule et change de signe, donc la courbe $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion.

Si $x=20\ln (15)$, $15{\mathrm{e}}^{-0,05x}-1=0$ donc $15{\mathrm{e}}^{-0,05\times 20\ln (15)}=1$ et : $$f(20\ln (15))=\frac{800}{1+15{\mathrm{e}}^{-0,05\times 20\ln (15)}}=\frac{800}{1+1}=400$$ Donc le point de coordonnées $(20\ln (15);400)$ est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.

b. La direction de la réserve affirme : « Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer. »

On établit le tableau de variations de la fonction $f^{\prime }$ qui modélise la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an.

(tableau de variations de $f^{\prime }$ : sur $[0;20\ln (15)]$, $f^{\prime \prime }(x)>0$ donc $f^{\prime }$ est croissante ; en $20\ln (15)$, $f^{\prime \prime }$ s'annule ; sur $[20\ln (15);+\infty [$, $f^{\prime \prime }(x)<0$ donc $f^{\prime }$ est décroissante.)

Or $20\ln (15)\approx 54,2$, donc la direction a raison : la vitesse de croissance augmente jusqu'à environ $54,2$ ans (un peu plus de cinquante ans), puis diminue. $\boxed{\text{La direction a raison.}}$