Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Pyramide, plan et distance dans l'espace

1. On a : $$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}5-4\\ -3-(-4)\\ 2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)\text{et}\overrightarrow{CB}\left(\begin{array}{c}5-6\\ -3-(-2)\\ 2-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$$

Donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB}=1\times (-1)+1\times (-1)+(-2)\times (-1)=-1-1+2=0$.

Puisque leur produit scalaire est nul, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CB}$ sont orthogonaux, donc le triangle ABC est rectangle en B.

2. D'après la question précédente, les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent bien un plan. Les coordonnées vérifient donc toute équation cartésienne du plan ainsi défini.

On a $x-y-8=4-(-4)-8=0$, donc les coordonnées de A vérifient l'équation $x-y-8=0$.

De même $5-(-3)-8=5+3-8=0$ et $6-(-2)-8=6+2-8=0$, donc les coordonnées de B et C vérifient également l'équation $x-y-8=0$.

Donc $x-y-8=0$ est bien une équation cartésienne du plan (ABC).

3. a. On sait que si $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ est un vecteur normal à un plan, alors ce plan a une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$. Or on a vu à la question précédente que $x-y-8=0$ est une équation cartésienne du plan (ABC), donc $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC).

Puisque $d$ est orthogonale au plan (ABC), le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $d$. De plus, la droite $d$ passe par le point $D(5;1;1)$.

Donc une représentation paramétrique de $d$ est : $$\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=1-t\\ z=1\end{array}t\in \mathbb{R}.$$

b. Puisque la droite $d$ est orthogonale au plan (ABC) et passe par D, le projeté orthogonal H de D sur (ABC) est le point d'intersection de la droite $d$ et du plan (ABC). Les coordonnées $(x;y;z)$ du point H vérifient donc à la fois la représentation paramétrique de $d$ et l'équation cartésienne de (ABC). Elles sont donc solution du système : $$\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=1-t\\ z=1\\ x-y-8=0\end{array}$$ $$⟹5+t-(1-t)-8=0⟹2t-4=0⟹2t=4⟹t=2$$ $$\{\begin{array}{l}x=5+2=7\\ y=1-2=-1\\ z=1\end{array}$$

Les coordonnées du projeté orthogonal H de D sur (ABC) sont donc : $\boxed{H(7;-1;1)}$.

c. $DH=\sqrt{(7-5{)}^2+(-1-1{)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{2^2+(-2{)}^2+0^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=\boxed{2\sqrt{2}}$.

4. a. La pyramide ABCD admet pour base le triangle ABC et pour hauteur le segment $[DH]$. On a donc $V=\frac{1}{3}\times \text{aire(ABC)}\times DH$.

Puisque ABC est rectangle en B, on a : $$\text{aire(ABC)}=\frac{AB\times CB}{2}=\frac{\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \times \Vert \overrightarrow{CB}\Vert }{2}$$ $$=\frac{\sqrt{1^2+1^2+(-2{)}^2}\times \sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}}{2}=\frac{\sqrt{1+1+4}\times \sqrt{1+1+1}}{2}=\frac{\sqrt{6}\times \sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{18}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

On a donc : $$V=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{2}}{2}\times 2\sqrt{2}=\boxed{2}$$

Le volume de la pyramide ABCD est $2$.

b. La distance du point A au plan (BCD) est la longueur de la hauteur issue de A de la pyramide ABCD. Soit $x$ cette distance. On a alors $V=\frac{1}{3}\times \text{aire(BCD)}\times x$. Donc : $$\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{42}}{2}\times x=2⟺x\sqrt{42}=2\times 3\times 2⟺x=\frac{12}{\sqrt{42}}=\frac{2\times 6}{\sqrt{6}\times \sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=\boxed{\frac{2\sqrt{42}}{7}}$$

La distance du point A au plan (BCD) est $\frac{2\sqrt{42}}{7}$.