Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Pyramide, plan et distance dans l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O; , , k)$ , on considère les points : $A (4; - 4; 4), B (5; - 3; 2), C (6; - 2; 3), D (5; 1; 1)$

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en $B$ .

2. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $x - y - 8 = 0$

3. On note $d$ la droite passant par le point $D$ et orthogonale au plan (ABC).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ .

b. On note H le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan (ABC). Déterminer les coordonnées du point H.

c. Montrer que $D H = 22$ .

4. a. Montrer que le volume de la pyramide ABCD est égal à $2$ .

On rappelle que le volume V d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule : $V = \frac{1}{3} \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base de la pyramide et $h$ la hauteur correspondante.

b. On admet que l'aire du triangle BCD est égale à $\frac{42}{2}$ .

En déduire la valeur exacte de la distance du point A au plan (BCD).

Corrigé

1. On a : $A B 5 - 4 - 3 - (- 4) 2 - 4 = 11 - 2 et C B 5 - 6 - 3 - (- 2) 2 - 3 = - 1 - 1 - 1$

Donc $A B \cdot C B = 1 \times (- 1) + 1 \times (- 1) + (- 2) \times (- 1) = - 1 - 1 + 2 = 0$ .

Puisque leur produit scalaire est nul, les vecteurs $A B$ et $C B$ sont orthogonaux, donc le triangle ABC est rectangle en B.

2. D'après la question précédente, les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent bien un plan. Les coordonnées vérifient donc toute équation cartésienne du plan ainsi défini.

On a $x - y - 8 = 4 - (- 4) - 8 = 0$ , donc les coordonnées de A vérifient l'équation $x - y - 8 = 0$ .

De même $5 - (- 3) - 8 = 5 + 3 - 8 = 0$ et $6 - (- 2) - 8 = 6 + 2 - 8 = 0$ , donc les coordonnées de B et C vérifient également l'équation $x - y - 8 = 0$ .

Donc $x - y - 8 = 0$ est bien une équation cartésienne du plan (ABC).

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