Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : QCM : droites et plans de l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

Dans toutes les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé.

1. On considère la droite $Δ_{1}$ de représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 3 t y = 4 + 2 t z = t$ , où $t \in R$ , ainsi que la droite $Δ_{2}$ de représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = - 4 + s y = 2 + 2 s z = - 1 + s$ , où $s \in R$ .

a. Les droites $Δ_{1}$ et $Δ_{2}$ sont parallèles.

b. Les droites $Δ_{1}$ et $Δ_{2}$ sont orthogonales.

c. Les droites $Δ_{1}$ et $Δ_{2}$ sont sécantes.

2. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 3 - t z = 1 + 2 t$ , où $t \in R$ , et le plan $P$ d'équation cartésienne $4 x + 2 y - z + 3 = 0$ .

a. La droite $d$ est incluse dans le plan $P$ .

b. La droite $d$ est parallèle strictement au plan $P$ .

c. La droite $d$ est sécante au plan $P$ .

3. On considère les points $A (3; 2; 1)$ , $B (7; 3; 1)$ , $C (- 1; 4; 5)$ et $D (- 3; 3; 5)$ .

a. Les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont coplanaires.

b. Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

c. $A B$ et $C D$ sont colinéaires.

4. On considère les plans $Q$ et $Q^{'}$ d'équation cartésienne respective $3 x - 2 y + z + 1 = 0$ et $4 x + y - z + 3 = 0$ .

a. Le point $R (1; 1; - 2)$ appartient aux deux plans.

b. Les deux plans sont orthogonaux.

c. Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite de représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 7 t + 4 z = 11 t + 7$ , où $t \in R$ .

Corrigé

1. $Δ_{1}$ a pour vecteur directeur $δ_{1} - 3 21$ et $Δ_{2}$ a pour vecteur directeur $δ_{2} 121$ : les premières coordonnées ne sont pas égales, les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, donc $Δ_{1}$ et $Δ_{2}$ ne sont pas parallèles.

En remplaçant respectivement $s$ par $2$ et $t$ par $1$ dans les représentations paramétriques, on trouve que le point de coordonnées $(- 2; 6; 1)$ appartient aux deux droites.

Les droites $Δ_{1}$ et $Δ_{2}$ sont donc sécantes : $r e ˊ ponse c.$

2. Un point $M (1 + t; 3 - t; 1 + 2 t)$ de $d$ appartient à $P$ si ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de $P$ , donc si $4 (1 + t) + 2 (3 - t) - (1 + 2 t) + 3 = 0 ⟺ 4 + 4 t + 6 - 2 t - 1 - 2 t + 3 = 0 ⟺ 12 = 0.$ Cette équation n'a pas de solution : cela signifie que la droite $d$ est parallèle strictement au plan $P$ : $r e ˊ ponse b.$

3. Commençons par la deuxième affirmation : on a $A B 410$ et $A C - 4 24$ : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

De plus $C D - 2 - 1 0$ : $A B$ et $C D$ ne sont pas colinéaires.

Il reste donc la première affirmation que l'on peut démontrer. $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont coplanaires si $D$ appartient au plan $(A B C)$ , c'est-à-dire si $A D = x A B + y A C$ , avec $x \in R$ , $y \in R$ (car $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires).

Avec $A D - 6 14$ , l'égalité vectorielle précédente se traduit par le système : $⎩ ⎨ ⎧ - 6 = 4 x - 4 y 1 = x + 2 y 4 = 4 y ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ - 6 = 4 x - 4 1 = x + 2 1 = y ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ - 2 = 4 x - 1 = x 1 = y ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ - \frac{1}{2} = x - 1 = x 1 = y$ Ce système n'a pas de solution. Donc le point $D$ n'appartient pas au plan défini par les points $A$ , $B$ et $C$ , ou encore $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont coplanaires : $r e ˊ ponse a.$

4.a. $R (1; 1; - 2) \in Q ⟺ 3 \times 1 - 2 \times 1 - 2 + 1 = 0 ⟺ 0 = 0$ : c'est vrai ; $R (1; 1; - 2) \in Q^{'} ⟺ 4 \times 1 + 1 \times 1 - (- 2) + 3 = 0 ⟺ 10 = 0$ : c'est faux. La première affirmation est fausse.

b. $Q$ a pour vecteur normal $n 3 - 2 1$ et $Q^{'}$ a pour vecteur normal $n^{'} 41 - 1$ ; $n \cdot n^{'} = 3 \times 4 + (- 2) \times 1 + 1 \times (- 1) = 12 - 2 - 1 = 9 \neq = 0$ : les vecteurs normaux ne sont pas orthogonaux, donc les plans $Q$ et $Q^{'}$ ne sont pas perpendiculaires.

c. Les points communs aux deux plans sont ceux dont les coordonnées vérifient les équations des deux plans, donc le système ${3 x - 2 y + z + 1 = 0 4 x + y - z + 3 = 0$ . On peut poser $x = t$ , $t \in R$ , et obtenir un système à deux inconnues $y$ et $z$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = t 3 x - 2 y + z + 1 = 0 4 x + y - z + 3 = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = t - 2 y + z = - 3 t - 1 y - z = - 4 t - 3$ La somme membre à membre des deux dernières équations donne $- y = - 7 t - 4 ⟺ y = 7 t + 4$ ; enfin $z = 2 y - 3 t - 1 = 2 (7 t + 4) - 3 t - 1 = 14 t + 8 - 3 t - 1 = 11 t + 7$ .

Conclusion : les points communs aux deux plans vérifient $⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 7 t + 4 z = 11 t + 7$ , $t \in R$ : c'est l'équation de la droite contenant le point $K (0; 4; 7)$ et de vecteur directeur $u 1711$ . La troisième affirmation est vraie : $r e ˊ ponse c.$

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