Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Suite des racines carrées itérées et méthode de Briggs

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Travailler ce sujet sur Adloun Sujet officiel (PDF) Corrigé complet (PDF)

Énoncé

On désigne par $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n, u_{n + 1} = u_{n} .$

Partie A

1. a. Donner la valeur exacte de $u_{1}$ et de $u_{2}$ .

b. Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $1 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ .

b. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.

c. Résoudre dans l'intervalle $[0; + \infty [$ l'équation $x = x$ .

d. Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $(u_{n})$ .

Partie B

On désigne par $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = ln (u_{n})$ .

1. a. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .

b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ , pour tout entier naturel $n$ .

c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $ln (2) = 2^{n} ln (u_{n})$ .

2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $C$ de la fonction $ln$ et la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $1$ .

Une équation de la droite $T$ est $y = x - 1$ .

Les points $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ ont pour abscisses respectives $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{2}$ et pour ordonnée $0$ .

(figure : courbe $C$ de la fonction $ln$ , sa tangente $T$ au point d'abscisse $1$ , et les points $A_{2}$ , $A_{1}$ , $A_{0}$ sur l'axe des abscisses)

On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $ln (x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $] 0, 99; 1, 01 [$ .

a. Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_{k}$ appartienne à l'intervalle $] 0, 99; 1, 01 [$ et donner une approximation de $ln (u_{k})$ à $1 0^{- 5}$ près.

b. En déduire une approximation de $ln (u_{1})$ .

c. Déduire des questions 1.c. et 2.b. de la partie B une approximation de $ln (2)$ .

3. On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à $1$ .

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de $ln (a)$ .

On rappelle que l'instruction en langage Python sqrt(a) correspond à $a$ .

from math import*
def Briggs(a):
    n = 0
    while a >= 1.01:
        a = sqrt(a)
        n = n+1
    L = ...
    return L

Corrigé

Partie A

1. a. $u_{1} = u_{0} = 2$ et $u_{2} = u_{1} = 2$ .

b. À l'aide de la calculatrice, on peut conjecturer que la suite $(u_{n})$ est décroissante et converge vers $1$ .

2. a. Posons, pour tout entier naturel $n$ , l'affirmation $P_{n}$ : « $1 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ ».

Initialisation : On a calculé $u_{1} = 2 \approx 1, 414$ et $u_{0} = 2$ .

On a donc bien $1 ⩽ u_{1} ⩽ u_{0}$ . L'affirmation $P_{0}$ est donc vraie.

Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose que l'affirmation $P_{n}$ est vraie, c'est-à-dire que $1 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ .

Montrons que $P_{n + 1}$ est vraie. Par hypothèse de récurrence, on a : $1 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⟹ 1 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ car la fonction racine carrée est croissante sur $R^{+}$ $⟹ 1 ⩽ u_{n + 2} ⩽ u_{n + 1} .$ Si, pour un entier naturel $n$ , $P_{n}$ est vraie, alors $P_{n + 1}$ est vraie également.

Conclusion : L'affirmation $P_{0}$ est vraie, et la propriété est héréditaire ; d'après le principe de récurrence, on en déduit que pour tout entier naturel non nul $n$ , on a : $1 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ .

b. D'après la question précédente, pour tout entier $n$ , $1 ⩽ u_{n}$ donc la suite $(u_{n})$ est minorée par $1$ .

Et pour tout entier $n$ , $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ donc la suite $(u_{n})$ est décroissante.

Or toute suite décroissante et minorée est convergente donc la suite $(u_{n})$ est convergente vers une limite $ℓ ⩾ 1$ .

c. Soit $x \in [0; + \infty [$ : $x = x ⟺ x = x^{2} car x ⩾ 0 ⟺ x^{2} - x = 0 ⟺ x (x - 1) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 1.$ L'équation $x = x$ admet deux solutions sur $[0; + \infty [$ : $0$ et $1$ .

d. La suite $(u_{n})$ est convergente vers $ℓ$ et est définie par récurrence par : $\forall n \in N, u_{n + 1} = f (u_{n})$ où $f$ est la fonction racine carrée qui est continue sur $] 0; + \infty [$ .

D'après le théorème du point fixe, $ℓ$ vérifie alors l'équation $f (x) = x$ .

Nous avons résolu cette équation à la question précédente, les solutions sont $0$ et $1$ , or d'après la question A.1.b., on a $ℓ ⩾ 1$ donc $ℓ = 1$ .

Donc : $n \to + \infty lim u_{n} = 1.$

Partie B

1. a. Soit $n \in N$ : $v_{n + 1} = ln (u_{n + 1}) = ln (u_{n}) = \frac{1}{2} ln (u_{n}) = \frac{1}{2} v_{n} .$ La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = ln (u_{0}) = ln (2)$ .

b. D'après l'expression du terme général d'une suite géométrique : pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} = v_{0} q^{n} = ln (2) (\frac{1}{2})^{n} = \frac{ln ( 2 )}{2 ^{n}} .$

c. Or, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} = ln (u_{n})$ donc $\frac{ln ( 2 )}{2 ^{n}} = ln (u_{n})$ , c'est-à-dire : $ln (2) = 2^{n} ln (u_{n}) .$

2. a. À l'aide de la calculatrice on trouve que pour $k < 7$ , $u_{k} > 1, 01$ et $u_{7} \approx 1, 00543$ donc $k = 7$ .

b. On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $ln (x)$ ; donc $ln (u_{7}) \approx u_{7} - 1 \approx 0, 00543$ .

c. D'après les questions 1.c. et 2.b. de la partie B, une approximation de $ln (2)$ est $2^{7} ln (u_{7})$ soit $2^{7} \times 0, 00543$ c'est-à-dire $0, 695$ .

3. On complète l'algorithme :

from math import*
def Briggs(a):
    n = 0
    while a >= 1.01:
        a = sqrt(a)
        n = n+1
    L = 2**n*(a-1)
    return L

Poser une question au tuteur sur ce sujet