Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Suite des racines carrées itérées et méthode de Briggs

On désigne par $(u_n)$ la suite définie par : $$u_0=2\text{et, pour tout entier naturel }n,u_{n+1}=\sqrt{u_n}.$$

Partie A

1. a. Donner la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.

b. Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1⩽u_{n+1}⩽u_n$.

b. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

c. Résoudre dans l'intervalle $[0;+\infty [$ l'équation $\sqrt{x}=x$.

d. Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $(u_n)$.

Partie B

On désigne par $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\ln (u_n)$.

1. a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.

b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.

c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $\ln (2)=2^n\ln (u_n)$.

2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$ et la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.

Une équation de la droite $T$ est $y=x-1$.

Les points $A_0$, $A_1$, $A_2$ ont pour abscisses respectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$ et pour ordonnée $0$.

(figure : courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$, sa tangente $T$ au point d'abscisse $1$, et les points $A_2$, $A_1$, $A_0$ sur l'axe des abscisses)

On décide de prendre $x-1$ comme approximation de $\ln (x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0,99;1,01[$.

a. Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_k$ appartienne à l'intervalle $]0,99;1,01[$ et donner une approximation de $\ln (u_k)$ à $10^{-5}$ près.

b. En déduire une approximation de $\ln (u_1)$.

c. Déduire des questions 1.c. et 2.b. de la partie B une approximation de $\ln (2)$.

3. On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à $1$.

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de $\ln (a)$.

On rappelle que l'instruction en langage Python sqrt(a) correspond à $\sqrt{a}$.

from math import*
def Briggs(a):
    n = 0
    while a >= 1.01:
        a = sqrt(a)
        n = n+1
    L = ...
    return L