Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Suite homographique, suite auxiliaire et récurrence

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

EXERCICE 2 (5 points)

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par son premier terme $u_{0} = 2$ et pour tout entier naturel $n$ , par : $u_{n + 1} = \frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2} .$ On admet que la suite $(u_{n})$ est bien définie.

1. Calculer le terme $u_{1}$ .

2. On définit la suite $(a_{n})$ pour tout entier naturel $n$ , par : $a_{n} = \frac{u _{n}}{u _{n} - 1} .$ On admet que la suite $(a_{n})$ est bien définie.

a. Calculer $a_{0}$ et $a_{1}$ .

b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 1$ .

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $a_{n} ⩾ 3 n - 1.$

d. En déduire la limite de la suite $(a_{n})$ .

3. On souhaite étudier la limite de la suite $(u_{n})$ .

a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = \frac{a _{n}}{a _{n} - 1}$ .

b. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .

4. On admet que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

On considère le programme suivant écrit en langage Python :

1  def algo(p):
2      u=2
3      n=0
4      while u-1>p:
5          u=(2*u+1)/(u+2)
6          n=n+1
7      return (n,u)

a. Interpréter les valeurs n et u renvoyées par l'appel de la fonction algo(p) dans le contexte de l'exercice.

b. Donner, sans justifier, la valeur de $n$ pour $p = 0, 001$ .

Corrigé

1. On a : $u_{1} = \frac{2 u _{0} + 1}{u _{0} + 2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2 + 2} = \frac{5}{4} = 1, 25 .$

2. a. $a_{0} = \frac{u _{0}}{u _{0} - 1} = \frac{2}{2 - 1} = 2$ et $a_{1} = \frac{u _{1}}{u _{1} - 1} = \frac{1 , 25}{1 , 25 - 1} = \frac{1 , 25}{0 , 25} = 5 .$

b. Soit $n$ un entier naturel. D'une part : $a_{n + 1} = \frac{u _{n + 1}}{u _{n + 1} - 1} = \frac{\frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2}}{\frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2} - 1} = \frac{\frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2}}{\frac{2 u _{n} + 1 - u _{n} - 2}{u _{n} + 2}} = \frac{\frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2}}{\frac{u _{n} - 1}{u _{n} + 2}} = \frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2} \times \frac{u _{n} + 2}{u _{n} - 1} = \frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} - 1} .$ D'autre part : $3 a_{n} - 1 = 3 \times \frac{u _{n}}{u _{n} - 1} - 1 = \frac{3 u _{n}}{u _{n} - 1} - \frac{u _{n} - 1}{u _{n} - 1} = \frac{3 u _{n} - ( u _{n} - 1 )}{u _{n} - 1} = \frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} - 1} .$ On constate donc bien que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 1$ .

Autre méthode : Soit $n$ un entier naturel. $a_{n + 1} = \frac{u _{n + 1}}{u _{n + 1} - 1} = \frac{u _{n + 1} - 1 + 1}{u _{n + 1} - 1} = 1 + \frac{1}{u _{n + 1} - 1} = 1 + \frac{1}{\frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2} - 1} = 1 + \frac{1}{\frac{u _{n} - 1}{u _{n} + 2}} = 1 + \frac{u _{n} + 2}{u _{n} - 1} = 2 + \frac{u _{n} + 2}{u _{n} - 1} - 1 = \frac{2 ( u _{n} - 1 ) + u _{n} + 2}{u _{n} - 1} - 1 = \frac{3 u _{n}}{u _{n} - 1} - 1 = 3 a_{n} - 1.$

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