Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Suite homographique, suite auxiliaire et récurrence

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

EXERCICE 2 (5 points)

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par son premier terme $u_{0} = 2$ et pour tout entier naturel $n$ , par : $u_{n + 1} = \frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2} .$ On admet que la suite $(u_{n})$ est bien définie.

1. Calculer le terme $u_{1}$ .

2. On définit la suite $(a_{n})$ pour tout entier naturel $n$ , par : $a_{n} = \frac{u _{n}}{u _{n} - 1} .$ On admet que la suite $(a_{n})$ est bien définie.

a. Calculer $a_{0}$ et $a_{1}$ .

b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 1$ .

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $a_{n} ⩾ 3 n - 1.$

d. En déduire la limite de la suite $(a_{n})$ .

3. On souhaite étudier la limite de la suite $(u_{n})$ .

a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = \frac{a _{n}}{a _{n} - 1}$ .

b. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .

4. On admet que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

On considère le programme suivant écrit en langage Python :

1  def algo(p):
2      u=2
3      n=0
4      while u-1>p:
5          u=(2*u+1)/(u+2)
6          n=n+1
7      return (n,u)

a. Interpréter les valeurs n et u renvoyées par l'appel de la fonction algo(p) dans le contexte de l'exercice.

b. Donner, sans justifier, la valeur de $n$ pour $p = 0, 001$ .

Corrigé

1. On a : $u_{1} = \frac{2 u _{0} + 1}{u _{0} + 2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2 + 2} = \frac{5}{4} = 1, 25 .$

2. a. $a_{0} = \frac{u _{0}}{u _{0} - 1} = \frac{2}{2 - 1} = 2$ et $a_{1} = \frac{u _{1}}{u _{1} - 1} = \frac{1 , 25}{1 , 25 - 1} = \frac{1 , 25}{0 , 25} = 5 .$

b. Soit $n$ un entier naturel. D'une part : $a_{n + 1} = \frac{u _{n + 1}}{u _{n + 1} - 1} = \frac{\frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2}}{\frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2} - 1} = \frac{\frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2}}{\frac{2 u _{n} + 1 - u _{n} - 2}{u _{n} + 2}} = \frac{\frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2}}{\frac{u _{n} - 1}{u _{n} + 2}} = \frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2} \times \frac{u _{n} + 2}{u _{n} - 1} = \frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} - 1} .$ D'autre part : $3 a_{n} - 1 = 3 \times \frac{u _{n}}{u _{n} - 1} - 1 = \frac{3 u _{n}}{u _{n} - 1} - \frac{u _{n} - 1}{u _{n} - 1} = \frac{3 u _{n} - ( u _{n} - 1 )}{u _{n} - 1} = \frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} - 1} .$ On constate donc bien que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 1$ .

Autre méthode : Soit $n$ un entier naturel. $a_{n + 1} = \frac{u _{n + 1}}{u _{n + 1} - 1} = \frac{u _{n + 1} - 1 + 1}{u _{n + 1} - 1} = 1 + \frac{1}{u _{n + 1} - 1} = 1 + \frac{1}{\frac{2 u _{n} + 1}{u _{n} + 2} - 1} = 1 + \frac{1}{\frac{u _{n} - 1}{u _{n} + 2}} = 1 + \frac{u _{n} + 2}{u _{n} - 1} = 2 + \frac{u _{n} + 2}{u _{n} - 1} - 1 = \frac{2 ( u _{n} - 1 ) + u _{n} + 2}{u _{n} - 1} - 1 = \frac{3 u _{n}}{u _{n} - 1} - 1 = 3 a_{n} - 1.$

c. Posons, pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , l'affirmation $P_{n}$ : « $a_{n} ⩾ 3 n - 1$ ».

Initialisation : On a calculé $a_{1} = 5$ et on a bien $5 ⩾ 3 \times 1 - 1 = 2$ . Donc $P_{1}$ est vraie.

Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul ; on suppose $P_{n}$ vraie, soit $a_{n} ⩾ 3 n - 1$ . Alors : $a_{n} ⩾ 3 n - 1 ⟹ 3 a_{n} ⩾ 3 (3 n - 1) car 3 > 0 ⟹ 3 a_{n} - 1 ⩾ 9 n - 3 - 1 ⟹ a_{n + 1} ⩾ 9 n - 4 d’apr e ˋ s la question 2.b, 3 a_{n} - 1 = a_{n + 1} ⟹ a_{n + 1} ⩾ 3 (n + 1) - 1 + 6 (n - 1) ⟹ a_{n + 1} ⩾ 3 (n + 1) - 1 car 6 (n - 1) ⩾ 0.$ Donc $P_{n + 1}$ est vraie : la propriété est héréditaire. D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul $n$ , $a_{n} ⩾ 3 n - 1$ .

d. Comme $3 > 0$ , $n \to + \infty lim (3 n - 1) = + \infty$ . Par comparaison, puisque $a_{n} ⩾ 3 n - 1$ pour tout $n$ non nul, la suite $(a_{n})$ diverge vers $+ \infty$ .

3. a. Soit $n$ un entier naturel. $a_{n} = \frac{u _{n}}{u _{n} - 1} ⟺ a_{n} (u_{n} - 1) = u_{n} ⟺ a_{n} u_{n} - a_{n} - u_{n} = 0 ⟺ u_{n} (a_{n} - 1) = a_{n} ⟺ u_{n} = \frac{a _{n}}{a _{n} - 1} .$ La division par $a_{n} - 1$ est légitime car $a_{n} - 1 \neq = 0$ . Donc, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = \frac{a _{n}}{a _{n} - 1}$ .

b. D'après les questions 2. ( $a_{0} = 2$ ) et 2. c., pour $n$ non nul $a_{n} ⩾ 3 n - 1 > 0$ ; ainsi, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n}$ est non nul. On en déduit : $u_{n} = \frac{a _{n}}{a _{n} - 1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{a _{n}}} .$ Puisque $(a_{n})$ diverge vers $+ \infty$ , par limite du quotient $n \to + \infty lim \frac{1}{a _{n}} = 0$ ; puis par limite de la somme $n \to + \infty lim (1 - \frac{1}{a _{n}}) = 1$ ; enfin par limite du quotient : $n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim \frac{1}{1 - \frac{1}{a _{n}}} = 1 .$ La suite $(u_{n})$ converge donc vers 1.

4. a. Cette fonction Python initialise la variable u à 2 (valeur de $u_{0}$ ) et la variable n à 0 (indice correspondant). À chaque exécution de la boucle while, u se voit affecter le terme suivant de la suite $(u_{n})$ et n l'indice correspondant au terme stocké dans u. La boucle s'exécute tant que l'écart entre le terme stocké dans u et la limite de la suite (égale à 1) est strictement supérieur à la valeur p choisie comme argument. Les valeurs n et u renvoyées par algo(p) correspondent donc respectivement à l'indice et à la valeur du premier terme de la suite pour lequel l'écart entre le terme et la limite est inférieur ou égal à p.

b. Pour $p = 0, 001$ , la fonction renvoie $n = 6$ (l'appel algo(0.001) renvoie $(6; 1, 000914083287)$ ).

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