Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Suites, récurrence et algorithme Python

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Partie A

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 30$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 10$ . Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 20$ .

1. Calculer les valeurs exactes de $u_{1}$ et $u_{2}$ .

2. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .

3. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ .

4. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = 20 + 10 (\frac{1}{2})^{n}$ .

5. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ . Justifier la réponse.

Partie B

Soit $(w_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $⎩ ⎨ ⎧ w_{0} = 45 w_{n + 1} = \frac{1}{2} w_{n} + \frac{1}{2} n + 7$

1. Montrer que $w_{1} = 44, 5$ .

On souhaite écrire une fonction suite, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme $w_{n}$ pour une valeur de $n$ donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction suite.

def suite(n):
    U=30
    W=45
    for i in range(1,n+1):
        U=U/2+10
        W=W/2+U/2+7
    return W

2. L'exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme $w_{1}$ . Comment modifier la fonction suite afin que l'exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme $w_{n}$ ?

3. a. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ on a : $w_{n} = 10 n (\frac{1}{2})^{n} + 11 (\frac{1}{2})^{n} + 34$

b. On admet que pour tout entier naturel $n ⩾ 4$ , on a : $0 ⩽ 10 n (\frac{1}{2})^{n} ⩽ \frac{10}{n}$ . Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $(w_{n})$ ?

Corrigé

Partie A

1. $u_{1} = \frac{1}{2} u_{0} + 10 = \frac{1}{2} \times 30 + 10 = 15 + 10 = 25$ et $u_{2} = \frac{1}{2} u_{1} + 10 = \frac{1}{2} \times 25 + 10 = 12, 5 + 10 = 22, 5$ .

2. Pour tout $n \in N$ : $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 20 = (\frac{1}{2} u_{n} + 10) - 20 = \frac{1}{2} u_{n} - 10 = \frac{1}{2} (u_{n} - 20) = \frac{1}{2} v_{n} .$ La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = u_{0} - 20 = 30 - 20 = 10$ .

3. Pour tout entier naturel $n$ : $v_{n} = v_{0} \times q^{n} = 10 \times (\frac{1}{2})^{n}$ .

4. Pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = v_{n} + 20 = 10 \times (\frac{1}{2})^{n} + 20 = 20 + 10 (\frac{1}{2})^{n}$ .

5. Comme $0 < \frac{1}{2} < 1$ , on a $n \to + \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 0$ ( $q^{n}$ avec $0 < q < 1$ ), donc par produit $n \to + \infty lim 10 \times (\frac{1}{2})^{n} = 0$ et par somme $n \to + \infty lim u_{n} = 20$ .

Partie B

1. $w_{1} = \frac{1}{2} \times w_{0} + \frac{1}{2} \times 0 + 7 = \frac{1}{2} \times 45 + 0 + 7 = 22, 5 + 7 = 44, 5$ (avec $n = 0$ ).

2. L'exécution de suite(1) renvoie une valeur erronée car la ligne mettant à jour $U$ est exécutée avant celle de $W$ , alors que le calcul de $w_{n + 1}$ utilise la valeur précédente de $u_{n}$ . Il faut donc échanger les lignes 5 et 6 :

def suite(n):
    U=30
    W=45
    for i in range(1,n+1):
        W=W/2+U/2+7
        U=U/2+10
    return W

3. a. Initialisation : Pour $n = 0$ , $w_{0} = 45$ et $10 \times 0 \times (\frac{1}{2})^{0} + 11 \times (\frac{1}{2})^{0} + 34 = 0 + 11 + 34 = 45$ , donc l'égalité est vraie pour $n = 0$ . Hérédité : Soit $n \in N$ tel que $w_{n} = 10 n (\frac{1}{2})^{n} + 11 (\frac{1}{2})^{n} + 34$ . Alors : $w_{n + 1} = \frac{1}{2} w_{n} + \frac{1}{2} n + 7 = \frac{1}{2} [10 n (\frac{1}{2})^{n} + 11 (\frac{1}{2})^{n} + 34] + \frac{1}{2} n + 7$ $w_{n + 1} = 10 n (\frac{1}{2})^{n + 1} + 11 (\frac{1}{2})^{n + 1} + 17 + \frac{1}{2} n + 7 = 10 (n + 1) (\frac{1}{2})^{n + 1} + 11 (\frac{1}{2})^{n + 1} + 34$ donc l'égalité est vraie au rang $n + 1$ . Conclusion : L'égalité est vraie pour $n = 0$ et si elle est vraie au rang $n$ , elle l'est aussi au rang $n + 1$ ; d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$ .

b. Pour tout entier naturel $n$ , $w_{n} = 10 n (\frac{1}{2})^{n} + 11 (\frac{1}{2})^{n} + 34$ . Comme $n \to + \infty lim \frac{10}{n} = 0$ et que pour tout $n ⩾ 4$ , $0 ⩽ 10 n (\frac{1}{2})^{n} ⩽ \frac{10}{n}$ , d'après le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes) $n \to + \infty lim 10 n (\frac{1}{2})^{n} = 0$ . De plus $n \to + \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 0$ ( $q^{n}$ avec $0 < q < 1$ ) donc par produit $n \to + \infty lim 11 (\frac{1}{2})^{n} = 0$ , et par somme $n \to + \infty lim w_{n} = 34$ . La suite $(w_{n})$ converge donc vers $34$ .

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