Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Tests de conformité de jouets (probabilités, loi binomiale)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux contrôles par l'entreprise de jouets : un test de fabrication et un test de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que :

• 95 % des jouets réussissent le test de fabrication ;
• Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98 % réussissent le test de sécurité ;
• 1 % des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :

• $F$ l'événement : « le jouet réussit le test de fabrication » ;
• $S$ l'événement : « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie A

1. À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $P(F)$ et $P_F(S)$.

2. a. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.

b. Montrer que $P_{\overline{F}}(\overline{S})=0,2$.

3. Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.

4. Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut $0,97$ arrondi au centième.

5. Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication ? Donner une valeur approchée du résultat au centième.

Partie B

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0,95$. Soit $S_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,95$.

1. Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_n$ en fonction de $n$.

2. Dans cette question, on pose $n=150$.

a. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(S_{150}=145)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

b. Déterminer la probabilité qu'au moins 94 % des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.

3. Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

Soit $F_n$ la variable aléatoire définie par : $F_n=\frac{S_n}{n}$. La variable aléatoire $F_n$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés.

On note $E(F_n)$ l'espérance et $V(F_n)$ la variance de la variable aléatoire $F_n$.

a. Montrer que $E(F_n)=0,95$ et que $V(F_n)=\frac{0,0475}{n}$.

b. On s'intéresse à l'événement $I$ suivant : « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre 93 % et 97 % ».

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot de jouets à prélever, pour que la probabilité de l'événement $I$ soit supérieure ou égale à $0,96$.