Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Tests de conformité de jouets (probabilités, loi binomiale)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux contrôles par l'entreprise de jouets : un test de fabrication et un test de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que :

95 % des jouets réussissent le test de fabrication ;
Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98 % réussissent le test de sécurité ;
1 % des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :

$F$ l'événement : « le jouet réussit le test de fabrication » ;
$S$ l'événement : « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie A

1. À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $P (F)$ et $P_{F} (S)$ .

2. a. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.

b. Montrer que $P_{F} (S) = 0, 2$ .

3. Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.

4. Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut $0, 97$ arrondi au centième.

5. Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication ? Donner une valeur approchée du résultat au centième.

Partie B

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0, 95$ . Soit $S_{n}$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que $S_{n}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0, 95$ .

1. Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_{n}$ en fonction de $n$ .

2. Dans cette question, on pose $n = 150$ .

a. Déterminer une valeur approchée à $1 0^{- 3}$ près de $P (S_{150} = 145)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

b. Déterminer la probabilité qu'au moins 94 % des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $1 0^{- 3}$ près.

3. Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

Soit $F_{n}$ la variable aléatoire définie par : $F_{n} = \frac{S _{n}}{n}$ . La variable aléatoire $F_{n}$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés.

On note $E (F_{n})$ l'espérance et $V (F_{n})$ la variance de la variable aléatoire $F_{n}$ .

a. Montrer que $E (F_{n}) = 0, 95$ et que $V (F_{n}) = \frac{0 , 0475}{n}$ .

b. On s'intéresse à l'événement $I$ suivant : « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre 93 % et 97 % ».

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot de jouets à prélever, pour que la probabilité de l'événement $I$ soit supérieure ou égale à $0, 96$ .

Corrigé

Partie A

1. D'après l'énoncé, 95 % des jouets réussissent le test de fabrication, donc $P (F) = 0, 95$ . Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98 % réussissent le test de sécurité, donc $P_{F} (S) = 0, 98$ .

2. a. (figure : arbre pondéré) La première série de branches sépare $F$ (probabilité $0, 95$ ) et $F$ (probabilité $0, 05$ ). À partir de $F$ : $S$ avec probabilité $0, 98$ et $S$ avec probabilité $0, 02$ . À partir de $F$ , les probabilités vers $S$ et $S$ sont d'abord inconnues.

b. D'après l'énoncé, 1 % des jouets ne réussissent aucun des deux tests, donc $P (F \cap S) = 0, 01$ .

$P_{F} (S) = \frac{P ( F \cap S )}{P ( F )} = \frac{0 , 01}{0 , 05} = 0, 2$

L'arbre complet est donc : à partir de $F$ (probabilité $0, 05$ ), $S$ avec probabilité $0, 8$ et $S$ avec probabilité $0, 2$ .

3. $P (F \cap S) = P (F) \times P_{F} (S) = 0, 95 \times 0, 98 = 0, 931$ .

La probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests est égale à $0, 93$ .

4. Les événements $F$ et $F$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : $P (S) = P (F \cap S) + P (F \cap S)$ .

On a donc : $P (S) = 0, 931 + 0, 05 \times 0, 8 = 0, 971$ .

La probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut $0, 97$ arrondi au centième.

5. $P_{S} (F) = \frac{P ( F \cap S )}{P ( S )} = \frac{0 , 931}{0 , 971} \approx 0, 9588$

La probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication sachant qu'il a réussi le test de sécurité vaut $0, 96$ arrondi au centième.

Partie B

1. $S_{n}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0, 95$ , donc :

$E (S_{n}) = n \times p = 0, 95 n et V (S_{n}) = n \times p \times (1 - p) = n \times 0, 95 \times 0, 05 = 0, 0475 n$

2. a. $P (S_{150} = 145) = (145 150) \times 0, 9 5^{145} \times 0, 0 5^{150 - 145} = 591600030 \times 0, 9 5^{145} \times 0, 0 5^{5} \approx 0, 10884$

Finalement, avec les consignes d'arrondi : $P (S_{150} = 145) \approx 0, 109$ .

Dans le contexte de l'exercice, dans environ 10,9 % des cas, 145 jouets sur les 150 du lot réussissent le test de fabrication.

b. 94 % des jouets de ce lot correspond à 141 jouets. À l'aide de la calculatrice : $P (S_{150} ⩾ 141) \approx 0, 78088$ .

La probabilité qu'au moins 94 % des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication est, à $1 0^{- 3}$ près, de $0, 781$ .

3. a. D'après les propriétés sur l'espérance d'une somme de variables aléatoires :

$E (F_{n}) = E (\frac{S _{n}}{n}) = \frac{E ( S _{n} )}{n} = \frac{0 , 95 n}{n} = 0, 95$

D'après les propriétés sur la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes :

$V (F_{n}) = V (\frac{S _{n}}{n}) = \frac{V ( S _{n} )}{n ^{2}} = \frac{0 , 0475 n}{n ^{2}} = \frac{0 , 0475}{n}$

b. L'événement « $0, 93 < F_{n} < 0, 97$ » revient à $∣ F_{n} - 0, 95∣ < 0, 02$ et $P [∣ F_{n} - 0, 95∣ < 0, 02] = 1 - P [∣ F_{n} - 0, 95∣ ⩾ 0, 02]$ .

On veut que $P [∣ F_{n} - 0, 95∣ < 0, 02] ⩾ 0, 96$ , c'est-à-dire que $P [∣ F_{n} - 0, 95∣ ⩾ 0, 02] ⩽ 0, 04$ .

Or, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a : $P [∣ F_{n} - E (F_{n}) ∣ ⩾ t] ⩽ \frac{V ( F _{n} )}{t ^{2}}$ .

Pour $t = 0, 02$ on obtient : $P [∣ F_{n} - 0, 95∣ ⩾ 0, 02] ⩽ \frac{0 , 0475}{n \times 0 , 0 2 ^{2}}$ .

Il suffit de résoudre l'inéquation suivante :

$1 - \frac{0 , 0475}{n \times 0 , 0 2 ^{2}} ⩾ 0, 96 ⟺ \frac{0 , 0475}{n \times 0 , 0 2 ^{2}} ⩽ 0, 04 ⟺ n ⩾ \frac{0 , 0475}{0 , 04 \times 0 , 0 2 ^{2}} ⟺ n ⩾ 2969$

Le lot devra contenir au moins $2969$ jouets. À partir de 2969 jouets prélevés, la probabilité de l'événement $I$ est supérieure ou égale à $0, 96$ .

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