Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Trajectoires de deux avions dans l'espace

Deux avions sont en approche d'un aéroport.

On munit l'espace d'un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{ı},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k}\right)$ dont l'origine O est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan $P_0$ d'équation $z=0$.

L'unité des axes correspond à 1 km.

On modélise les avions par des points.

(figure : représentation dans le repère des trajectoires $d_A$ et $d_B$ et des points A et B)

L'avion Alpha transmet à la tour sa position en $A(-7;1;7)$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -3\end{array}\right)$.

L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite $d_B$ passant par le point B dont une représentation paramétrique est : $$\{\begin{array}{l}x=-11+5t\\ y=-5+t\\ z=11-4t\end{array}\text{ouˋ }t\text{ deˊcrit }\mathbb{R}.$$

1. S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point S en lequel l'avion Bêta touchera le sol.

2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_A$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.

b) Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?

3. a) Démontrer que l'avion Alpha passe par la position $E(-3;-1;1)$.

b) Justifier qu'une équation cartésienne du plan $P_E$ passant par E et perpendiculaire à la droite $d_A$ est : $$2x-y-3z+8=0.$$

c) Vérifier que le point $F(-1;-3;3)$ est le point d'intersection du plan $P_E$ et de la droite $d_B$.

d) Calculer la valeur exacte de la distance EF, puis vérifier que cela correspond à une distance de 3 464 m, à 1 m près.

4. La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut 1 852 m). Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?