Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Trajectoires de deux avions dans l'espace
Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.
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Énoncé
Deux avions sont en approche d'un aéroport.
On munit l'espace d'un repère orthonormé dont l'origine O est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan d'équation .
L'unité des axes correspond à 1 km.
On modélise les avions par des points.
(figure : représentation dans le repère des trajectoires et et des points A et B)
L'avion Alpha transmet à la tour sa position en et sa trajectoire est dirigée par le vecteur .
L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite passant par le point B dont une représentation paramétrique est :
1. S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point S en lequel l'avion Bêta touchera le sol.
2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.
b) Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?
3. a) Démontrer que l'avion Alpha passe par la position .
b) Justifier qu'une équation cartésienne du plan passant par E et perpendiculaire à la droite est :
c) Vérifier que le point est le point d'intersection du plan et de la droite .
d) Calculer la valeur exacte de la distance EF, puis vérifier que cela correspond à une distance de 3 464 m, à 1 m près.
4. La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut 1 852 m). Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?
Corrigé
1. Le sol est le plan d'équation , donc l'avion touchera le sol lorsque , c'est-à-dire soit .
Les coordonnées du point S sont : S'il ne dévie pas de sa trajectoire, les coordonnées du point S en lequel l'avion Bêta touchera le sol sont :
2. a) L'avion Alpha transmet sa position en et sa trajectoire est dirigée par le vecteur . Une représentation paramétrique de la droite caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha est donc :
b) Les deux avions entreront en collision si leurs trajectoires se coupent, c'est-à-dire si les droites et sont sécantes. Cherchons s'il existe un couple tel que le point de paramètre sur soit confondu avec le point de paramètre sur , ce qui revient à résoudre : Le système n'a pas de solution, donc les deux avions ne peuvent pas entrer en collision.
3. a) L'avion Alpha passe par la position s'il existe un réel tel que le point de paramètre sur ait ces coordonnées. Résolvons : Le point correspond au point de paramètre donc l'avion Alpha passe par le point E.
b) Le plan est perpendiculaire à la droite dirigée par le vecteur , donc est un vecteur normal au plan . Une équation cartésienne du plan est donc de la forme : avec .
De plus, le point E appartient au plan , donc ses coordonnées vérifient l'équation : soit , c'est-à-dire , d'où .
Conclusion : une équation cartésienne du plan est bien : .
c) Déterminons les coordonnées du point d'intersection F entre et la droite ; elles sont solutions du système On cherche donc qui vérifie , c'est-à-dire .
On en déduit : Le point d'intersection du plan avec la droite est bien le point .
d) Le repère est orthonormé, on peut donc utiliser les coordonnées pour calculer les distances. d'où km, soit m à 1 m près.
4. Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, la distance les séparant est d'environ 3 464 m, soit environ mille nautique.
Or , donc leur distance de sécurité n'est pas respectée.