Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Vrai/faux sur droites et plans de l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

$(O; i, j, k)$ est un repère de l'espace.

On considère la droite D qui a pour représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = 3 - t y = - 2 + 3 t z = 1 + 4 t t \in R$ et le plan $P$ qui a pour équation cartésienne : $2 x - 3 y + z - 6 = 0$ .

1. Affirmation : La droite D', qui a pour représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t y = 4 - 6 t z = 9 - 8 t t \in R,$ est parallèle à la droite D.

2. On admet que les points $A (- 2; 3; 1)$ , $B (1; 3; - 4)$ et $C (6; 3; 9)$ ne sont pas alignés.

Affirmation : La droite D est orthogonale au plan défini par les trois points A, B et C.

3. Affirmation : La droite D est sécante avec le plan $Δ$ qui a pour représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = - 4 + 2 t^{'} y = 1 - 3 t^{'} z = 2 + t^{'} t^{'} \in R .$

4. Affirmation : Le point $F (- 3; - 3; 3)$ est le projeté orthogonal du point $E (- 5; 0; 2)$ sur le plan $P$ .

5. Affirmation : Il existe exactement une valeur du paramètre réel $a$ telle que le plan $P^{'}$ d'équation $- 3 x + y - a^{2} z + 3 = 0$ soit parallèle à la droite D.

Note du rédacteur : « pour certaines questions, il est indispensable que le repère soit orthonormé. »

Corrigé

1. Affirmation : Vraie

Par simple lecture des systèmes de représentation paramétrique, on peut dire que D est dirigée par $u - 1 34$ et D' dirigée par $u^{'} 2 - 6 - 8$ .

On remarque que : $u^{'} = - 2 u$ donc les vecteurs directeurs sont colinéaires, et donc les deux droites sont parallèles entre elles.

2. Affirmation : Fausse

De façon générale, si A, B et C définissent un plan, alors D sera orthogonale au plan (ABC) si et seulement si son vecteur directeur $u$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du vecteur, classiquement $A B$ et $A C$ .

La méthode classique serait donc de déterminer les coordonnées de ces vecteurs, et d'en faire le produit scalaire avec $u$ .

Cela donne : $A B 1 - (- 2) 3 - 3 - 4 - 1$ donc $A B 30 - 5$ .

On a avec les coordonnées de $u$ déterminées à la question 1., le produit scalaire qui se calcule au moyen des coordonnées (on suppose que le repère est orthonormé) : $A B \cdot u = 3 \times (- 1) + 0 \times 3 + (- 5) \times 4 = - 23 \neq = 0.$ Comme ce produit scalaire n'est pas nul, pas besoin de calculer le second : on peut affirmer que D n'est pas orthogonale à (ABC), car elle n'est pas orthogonale à (AB) qui est une droite du plan (ABC).

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