Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Vrai/faux sur droites et plans de l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

$(O; i, j, k)$ est un repère de l'espace.

On considère la droite D qui a pour représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = 3 - t y = - 2 + 3 t z = 1 + 4 t t \in R$ et le plan $P$ qui a pour équation cartésienne : $2 x - 3 y + z - 6 = 0$ .

1. Affirmation : La droite D', qui a pour représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t y = 4 - 6 t z = 9 - 8 t t \in R,$ est parallèle à la droite D.

2. On admet que les points $A (- 2; 3; 1)$ , $B (1; 3; - 4)$ et $C (6; 3; 9)$ ne sont pas alignés.

Affirmation : La droite D est orthogonale au plan défini par les trois points A, B et C.

3. Affirmation : La droite D est sécante avec le plan $Δ$ qui a pour représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = - 4 + 2 t^{'} y = 1 - 3 t^{'} z = 2 + t^{'} t^{'} \in R .$

4. Affirmation : Le point $F (- 3; - 3; 3)$ est le projeté orthogonal du point $E (- 5; 0; 2)$ sur le plan $P$ .

5. Affirmation : Il existe exactement une valeur du paramètre réel $a$ telle que le plan $P^{'}$ d'équation $- 3 x + y - a^{2} z + 3 = 0$ soit parallèle à la droite D.

Note du rédacteur : « pour certaines questions, il est indispensable que le repère soit orthonormé. »

Corrigé

1. Affirmation : Vraie

Par simple lecture des systèmes de représentation paramétrique, on peut dire que D est dirigée par $u - 1 34$ et D' dirigée par $u^{'} 2 - 6 - 8$ .

On remarque que : $u^{'} = - 2 u$ donc les vecteurs directeurs sont colinéaires, et donc les deux droites sont parallèles entre elles.

2. Affirmation : Fausse

De façon générale, si A, B et C définissent un plan, alors D sera orthogonale au plan (ABC) si et seulement si son vecteur directeur $u$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du vecteur, classiquement $A B$ et $A C$ .

La méthode classique serait donc de déterminer les coordonnées de ces vecteurs, et d'en faire le produit scalaire avec $u$ .

Cela donne : $A B 1 - (- 2) 3 - 3 - 4 - 1$ donc $A B 30 - 5$ .

On a avec les coordonnées de $u$ déterminées à la question 1., le produit scalaire qui se calcule au moyen des coordonnées (on suppose que le repère est orthonormé) : $A B \cdot u = 3 \times (- 1) + 0 \times 3 + (- 5) \times 4 = - 23 \neq = 0.$ Comme ce produit scalaire n'est pas nul, pas besoin de calculer le second : on peut affirmer que D n'est pas orthogonale à (ABC), car elle n'est pas orthogonale à (AB) qui est une droite du plan (ABC).

Ici, on peut cependant adopter une méthode différente : on repère que les trois points A, B et C partagent la même ordonnée : $3$ , et sont répartis non alignés, donc le plan ABC est le plan d'équation $y = 3$ , et un vecteur normal à (ABC) est le vecteur $j$ . Comme $j$ est clairement non colinéaire à $u$ , alors on peut en déduire que D n'est pas orthogonale à (ABC).

3. Affirmation : Fausse

D est dirigée par $u - 1 34$ et $Δ$ est dirigée par $u^{'} 2 - 3 1$ , qui est clairement non colinéaire à $u$ : les droites ne sont donc pas parallèles. Elles peuvent être soit sécantes, soit non coplanaires.

Pour trancher, cherchons s'il existe un couple de paramètres $(t; t^{'})$ tel que le point de paramètre $t$ sur D serait confondu avec le point de paramètre $t^{'}$ sur $Δ$ , autrement dit s'il existe un point commun aux deux droites.

On résout le système : $⎩ ⎨ ⎧ 3 - t = - 4 + 2 t^{'} - 2 + 3 t = 1 - 3 t^{'} 1 + 4 t = 2 + t^{'} ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ - t = - 7 + 2 t^{'} - 3 + 3 t + 3 t^{'} = 0 - 1 + 4 t - t^{'} = 0$ $⟺ ⎩ ⎨ ⎧ t = 7 - 2 t^{'} - 3 + 3 (7 - 2 t^{'}) + 3 t^{'} = 0 - 1 + 4 (7 - 2 t^{'}) - t^{'} = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ t = 7 - 2 t^{'} - 3 + 21 - 6 t^{'} + 3 t^{'} = 0 - 1 + 28 - 8 t^{'} - t^{'} = 0$ $⟺ ⎩ ⎨ ⎧ t = 7 - 2 t^{'} 3 t^{'} = 18 9 t^{'} = 27 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ t = 7 - 2 t^{'} t^{'} = 6 t^{'} = 3$ Les équations du système sont incompatibles, donc le système n'a pas de solution, et les droites D et $Δ$ n'ont aucun point commun : elles ne sont donc pas sécantes.

4. Affirmation : Vraie

Le point $F (- 3; - 3; 3)$ appartient au plan $P$ car ses coordonnées vérifient l'équation du plan, en effet : $2 x_{F} - 3 y_{F} + z_{F} - 6 = 2 \times (- 3) - 3 \times (- 3) + 3 - 6 = - 6 + 9 + 3 - 6 = 0.$ De plus, $E F$ a pour coordonnées $- 3 - (- 5) - 3 - 0 3 - 2$ donc $E F 2 - 3 1$ . Ce vecteur a les mêmes coordonnées que le vecteur normal du plan que l'on peut obtenir par lecture de l'équation de $P$ .

Ainsi, la droite (EF) est une droite orthogonale au plan $P$ , telle que $F \in P$ , donc F est le projeté orthogonal du point $E (- 5; 0; 2)$ sur le plan $P$ .

5. Affirmation : Fausse

Par lecture de l'équation de $P^{'}$ , celui-ci admet comme vecteur normal le vecteur $n - 3 1 - a^{2}$ . La droite D est toujours dirigée par $u - 1 34$ .

Le produit scalaire $n \cdot u$ vaut : $n \cdot u = - 3 \times (- 1) + 1 \times 3 + (- a^{2}) \times 4 = 6 - 4 a^{2}$ .

Autrement dit, D est parallèle à $P^{'}$ si et seulement si $n \cdot u = 0$ donc si et seulement si $6 - 4 a^{2} = 0$ c'est-à-dire $a^{2} = \frac{6}{4}$ soit $a = \frac{6}{2}$ ou $a = - \frac{6}{2}$ .

Il existe donc deux valeurs du paramètre réel $a$ telles que le plan $P^{'}$ d'équation $- 3 x + y - a^{2} z + 3 = 0$ soit parallèle à la droite D.

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