Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Vrai ou faux : dénombrement, tangente, primitive, équations différentielles

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Dans une classe de 24 élèves, il y a 14 filles et 10 garçons.

Affirmation 1 : Il est possible de constituer 272 groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\sin (2x+\pi )$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère donné.

Affirmation 2 : Une équation de la tangente à $C$ au point d'abscisse $\frac{\pi }{2}$ est $y=6x-3\pi$.

3. On considère la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty [$ par $F(x)=(2x+1)\ln (x)$.

Affirmation 3 : La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{2}{x}$.

4. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(t)=45e^{0,06t}+20$.

Affirmation 4 : La fonction $g$ est l'unique solution de l'équation différentielle $(E_1):y^{\prime }+0,06y=1,2$ vérifiant $g(0)=65$.

5. On considère l'équation différentielle $$(E_2):y^{\prime }-y=3e^{0,4x}$$ où $y$ est une fonction positive de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y^{\prime }$ la fonction dérivée de la fonction $y$.

Affirmation 5 : Les solutions de l'équation $(E_2)$ sont des fonctions convexes sur $\mathbb{R}$.