Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 2 : Vrai ou faux : dénombrement, tangente, primitive, équations différentielles

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Dans une classe de 24 élèves, il y a 14 filles et 10 garçons.

Affirmation 1 : Il est possible de constituer 272 groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = 3 sin (2 x + π)$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère donné.

Affirmation 2 : Une équation de la tangente à $C$ au point d'abscisse $\frac{π}{2}$ est $y = 6 x - 3 π$ .

3. On considère la fonction $F$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = (2 x + 1) ln (x)$ .

Affirmation 3 : La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{2}{x}$ .

4. On considère la fonction $g$ définie sur $R$ par $g (t) = 45 e^{0, 06 t} + 20$ .

Affirmation 4 : La fonction $g$ est l'unique solution de l'équation différentielle $(E_{1}) : y^{'} + 0, 06 y = 1, 2$ vérifiant $g (0) = 65$ .

5. On considère l'équation différentielle $(E_{2}) : y^{'} - y = 3 e^{0, 4 x}$ où $y$ est une fonction positive de la variable réelle $x$ , définie et dérivable sur $R$ et $y^{'}$ la fonction dérivée de la fonction $y$ .

Affirmation 5 : Les solutions de l'équation $(E_{2})$ sont des fonctions convexes sur $R$ .

Corrigé

1. $(2 14) \times (2 10) = 91 \times 45 = 4095 \neq = 272$ . L'énoncé indique « est-il possible » et ne fait pas intervenir le nombre maximum de groupes composés de deux filles et de deux garçons. Comme $272 < 4095$ , l'\textbf{affirmation est vraie}.

2. $f$ est une fonction composée de fonctions dérivables. $\forall x \in R$ , $f^{'} (x) = 6 \times cos (2 x + π)$ . $f^{'} (\frac{π}{2}) = 6 \times cos (2 \times \frac{π}{2} + π) = 6 f (\frac{π}{2}) = 3 \times sin (2 \times \frac{π}{2} + π) = 0$ L'équation de la tangente au point d'abscisse $\frac{π}{2}$ est donnée par : $y = (x - \frac{π}{2}) \times f^{'} (\frac{π}{2}) + f (\frac{π}{2}) = 6 (x - \frac{π}{2}) = 6 x - 3 π$ L'\textbf{affirmation est vraie}.

3. $\forall x \in] 0; + \infty [$ , $F^{'} (x) = 2 ln x + (2 x + 1) \times \frac{1}{x} = 2 ln x + 2 + \frac{1}{x}$ , en particulier $F^{'} (1) = 3$ et $f (1) = 2$ . Comme $F^{'} (1) \neq = f (1)$ , $F^{'}$ n'est pas égale à $f$ . Ainsi $F$ n'est pas une primitive de $f$ . L'\textbf{affirmation est fausse}.

4. $g (t) = 45 e^{0, 06 t} + 20$ . $\forall t \in R$ : $g^{'} (t) = 45 \times 0, 06 \times e^{0, 06 t} = 0, 06 \times (45 e^{0, 06 t} + 20) - 0, 06 \times 20 = 0, 06 g (t) - 1, 2$ Donc $g^{'} (t) - 0, 06 g (t) = - 1, 2$ , ce qui ne correspond pas à l'équation $(E_{1}) : y^{'} + 0, 06 y = 1, 2$ . $g$ n'est pas solution de $(E_{1})$ . L'\textbf{affirmation est fausse}.

5. Soit $y$ une solution positive de $(E_{2})$ . On peut écrire $\forall x \in R$ , $y^{'} (x) = y (x) + 3 e^{0, 4 x}$ . Comme $\forall x \in R$ , $y (x) ⩾ 0$ et $3 e^{0, 4 x} ⩾ 0$ , alors $\forall x \in R$ , $y^{'} (x) ⩾ 0$ . On dérive l'équation différentielle : $\forall x \in R$ , $y^{''} (x) = y^{'} (x) + 1, 2 e^{0, 4 x}$ . Comme $\forall x \in R$ , $y^{'} (x) ⩾ 0$ , alors $y^{''} (x) ⩾ 0$ . $\forall x \in R$ , $y^{''} (x) ⩾ 0$ donc $y$ est convexe sur $R$ . L'\textbf{affirmation est vraie} : les solutions positives de $(E_{2})$ sont des fonctions convexes sur $R$ .

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