Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Codage base64 : dénombrement et loi binomiale
Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.
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Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères : les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Partie A
Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64. Par exemple, « gP3g » est une telle séquence. Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte : les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.
1. Déterminer le nombre de séquences possibles.
2. Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.
3. a. Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.
b. En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
c. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
d. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.
Partie B
On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles. On note la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.
1. On admet que la variable aléatoire suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à près.
3. Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?
Partie C
On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères chacune. On note , , et les nombres de caractères correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences.
On admet que les variables aléatoires , , et sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire définie en partie B.
On note .
Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
Corrigé
Partie A
1. Pour chaque caractère, il y a 64 possibilités, donc pour une séquences de 4 caractères, il y a possibilités, soit possibilités. On pourra noter .
2. Si les caractères sont différents deux à deux, il s'agit alors d'un arrangement de 4 caractères parmi 64 : possibilités.
3. a. On reprend la question 1 où l'on prend 63 caractères au lieu de 64. On dénombre possibilités.
b. Soit l'événement : « la séquence ne comporte pas la lettre A ». Son événement contraire est donc « la séquence comporte au moins une fois la lettre A ».
Ainsi donc .
Il y a donc séquences contenant au moins une fois la lettre A.
c. La lettre A peut se situer dans l'une des quatre positions dans la séquence, les trois autres lettres étant différentes. Il y aura donc possibilités.
d. Il y a façons de placer les deux lettres A dans la séquence. Les deux autres lettres ne sont pas des A. Il y aura donc possibilités.
Partie B
1. suit une loi binomiale de paramètres et .
2. .
3. On calcule . Avec la calculatrice, , ce qui est négligeable.
L'affirmation est donc vraie : la probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable.
Partie C
En utilisant les propriétés sur la linéarité de l'espérance et de la variance (les variables aléatoires , , et étant indépendantes), on peut affirmer que :
.
.