Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Concentration d'un médicament dans le sang

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On se propose d'étudier la concentration dans le sang d'un médicament ingéré par une personne pour la première fois. Soit $t$ le temps (en heures) écoulé depuis l'ingestion de ce médicament.

On admet que la concentration de ce médicament dans le sang, en gramme par litre de sang, est modélisée par une fonction $f$ de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

Partie A : lectures graphiques

(figure : courbe représentative de la fonction $f$ ; en abscisse le « temps en heures », en ordonnée la « concentration en g/L ». La courbe part de l'origine, croît jusqu'à un maximum d'environ $1, 84$ atteint vers $t = 1$ , puis décroît en se rapprochant de l'axe des abscisses.)

On a représenté ci-dessus la courbe représentative de la fonction $f$ . Avec la précision permise par le graphique, donner sans justification :

1. Le temps écoulé depuis l'instant de l'ingestion de ce médicament et l'instant où la concentration de médicament dans le sang est maximale selon ce modèle.

2. L'ensemble des solutions de l'inéquation $f (t) ⩾ 1$ .

3. La convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 8]$ .

Partie B : détermination de la fonction $f$

On considère l'équation différentielle $(E) : y^{'} + y = 5 e^{- t},$ d'inconnue $y$ , où $y$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ .

1. Résoudre l'équation différentielle $(E^{'}) : y^{'} + y = 0$ .

2. Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $u (t) = a t e^{- t}$ avec $a \in R$ . Déterminer la valeur du réel $a$ telle que la fonction $u$ soit solution de l'équation $(E)$ .

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ .

4. La personne n'ayant pas pris ce médicament auparavant, on admet que $f (0) = 0$ . Déterminer l'expression de la fonction $f$ .

Partie C : étude de la fonction $f$

Dans cette partie, on admet que $f$ est définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (t) = 5 t e^{- t}$ .

1. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ puis dresser son tableau de variation complet.

3. Démontrer qu'il existe deux réels $t_{1}$ et $t_{2}$ tels que $f (t_{1}) = f (t_{2}) = 1$ . On donnera une valeur approchée à $1 0^{- 2}$ des réels $t_{1}$ et $t_{2}$ .

4. Pour une concentration du médicament supérieure ou égale à 1 gramme par litre de sang, il y a un risque de somnolence. Quelle est la durée en heures et minutes du risque de somnolence lors de la prise de ce médicament ?

Partie D : concentration moyenne

La concentration moyenne du médicament (en gramme par litre de sang) durant la première heure est donnée par : $T_{m} = \int_{0}^{1} f (t) d t,$ où $f$ est la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $f (t) = 5 t e^{- t}$ .

Calculer cette concentration moyenne. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près.

Corrigé

Partie A : lectures graphiques

1. Le temps écoulé depuis l'instant de l'ingestion jusqu'à l'instant où la concentration est maximale est, selon ce modèle, d'environ $1 heure$ .

2. L'ensemble des solutions de l'inéquation $f (t) ⩾ 1$ est l'intervalle $[0, 25; 2, 5]$ .

3. Sur l'intervalle $[0; 8]$ , la fonction $f$ semble concave entre 0 et 2, puis convexe.

Partie B : détermination de la fonction $f$

1. On résout l'équation différentielle $(E^{'}) : y^{'} + y = 0$ .

D'après le cours, les équations différentielles de la forme $a y^{'} + b y = 0$ ont des solutions $y$ s'écrivant $y (t) = k e^{- \frac{b}{a} t}$ où $k$ est un réel quelconque.

Donc l'équation $(E^{'})$ a pour solutions les fonctions $y$ s'écrivant $y (t) = k e^{- t}$ où $k \in R$ .

2. Soit $u$ la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $u (t) = a t e^{- t}$ avec $a \in R$ .

La fonction $u$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ si et seulement si $u^{'} (t) + u (t) = 5 e^{- t}$ .

$u (t) = a t e^{- t}$ donc $u^{'} (t) = a \times e^{- t} + a t \times (- 1) e^{- t} = a e^{- t} - a t e^{- t}$ . $u^{'} (t) + u (t) = 5 e^{- t} ⟺ a e^{- t} - a t e^{- t} + a t e^{- t} = 5 e^{- t} ⟺ a e^{- t} = 5 e^{- t} ⟺ a = 5$ car $e^{- t} \neq = 0$ pour tout $t$ .

La fonction $u$ définie par $u (t) = 5 t e^{- t}$ est donc une solution de $(E)$ : $a = 5$ .

3. La solution générale de l'équation $(E)$ est la somme d'une solution particulière de $(E)$ et de la solution générale de l'équation sans second membre $(E^{'})$ : ce sont donc les fonctions $f$ définies par $f (t) = k e^{- t} + 5 t e^{- t}, k \in R .$

4. La personne n'ayant pas pris ce médicament auparavant, on admet que $f (0) = 0$ . $f (0) = 0 ⟺ k e^{0} + 5 \times 0 \times e^{0} = 0 ⟺ k = 0.$ L'expression de la fonction $f$ est donc $f (t) = 5 t e^{- t}$ .

Partie C : étude de la fonction $f$

1. On sait que $t \to + \infty lim \frac{e ^{t}}{t} = + \infty$ donc $t \to + \infty lim \frac{t}{e ^{t}} = 0$ , donc $t \to + \infty lim 5 t e^{- t} = 0$ , et donc $t \to + \infty lim f (t) = 0 .$ Cela signifie que la concentration en médicament devient nulle quand le temps augmente indéfiniment.

2. $f$ est le produit de fonctions dérivables sur $R$ donc $f$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ .

$f (t) = 5 t e^{- t}$ donc $f^{'} (t) = 5 \times e^{- t} + 5 t \times e^{- t} \times (- 1) = (5 - 5 t) e^{- t}$ .

On étudie le signe de $f^{'} (t)$ sur $[0; + \infty [$ .

(tableau de signes : $5 - 5 t$ est positif sur $[0; 1 [$ , nul en $t = 1$ , négatif au-delà ; $e^{- t}$ est toujours positif ; donc $f^{'} (t)$ est positif sur $[0; 1 [$ , nul en $t = 1$ , négatif au-delà.)

$f (0) = 0$ et $f (1) = 5 \times 1 \times e^{- 1} = 5 e^{- 1}$ .

On établit le tableau de variation complet de $f$ sur $[0; + \infty [$ .

(tableau de variation : $f$ croît de $0$ — en $t = 0$ — jusqu'à $5 e^{- 1}$ — en $t = 1$ — puis décroît vers $0$ quand $t \to + \infty$ .)

3. Le maximum de la fonction $f$ est $f (1) = 5 e^{- 1} \approx 1, 84 > 1$ .

Sur l'intervalle $[0; 1]$ , la fonction $f$ est continue et strictement croissante. De plus $1 \in [f (0); f (1)]$ . Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f (t) = 1$ admet une solution unique dans $[0; 1]$ . On l'appelle $t_{1}$ .

D'après la calculatrice : $f (0, 25) \approx 0, 97 < 1$ et $f (0, 26) \approx 1, 002 > 1$ , donc $t_{1} \approx 0, 25$ à $1 0^{- 2}$ près.

Sur l'intervalle $[1; + \infty [$ , la fonction $f$ est continue et strictement décroissante. De plus $1 \in [t \to + \infty lim f (t); f (1)]$ . Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f (t) = 1$ admet une solution unique dans $[1; + \infty [$ . On l'appelle $t_{2}$ .

D'après la calculatrice : $f (2, 54) \approx 1, 002 > 1$ et $f (2, 55) \approx 0, 996 < 1$ , donc $t_{2} \approx 2, 54$ à $1 0^{- 2}$ près.

4. Il y a un risque de somnolence lorsque $f (t) ⩾ 1$ , c'est-à-dire pour $t \in [t_{1}; t_{2}]$ , soit pour une durée égale à $t_{2} - t_{1} \approx 2, 54 - 0, 25 = 2, 29$ heures.

Comme $0, 29 \times 60 \approx 17$ , cela fait environ $2 heures et 17 minutes$ .

Partie D : concentration moyenne

On calcule $T_{m} = \int_{0}^{1} 5 t e^{- t} d t$ par une intégration par parties : $\int_{a}^{b} u (t) v^{'} (t) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (t) v (t) d t$ .

On pose ${u (t) = 5 t v^{'} (t) = e^{- t}$ donc ${u^{'} (t) = 5 v (t) = - e^{- t}$ $T_{m} = \int_{0}^{1} 5 t e^{- t} d t = [5 t \times (- e^{- t})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 5 \times (- e^{- t}) d t = [- 5 t e^{- t}]_{0}^{1} - 5 [e^{- t}]_{0}^{1}$ $= (- 5 e^{- 1} - 0) - 5 (e^{- 1} - e^{0}) = - 5 e^{- 1} - 5 e^{- 1} + 5 = 5 - 10 e^{- 1} \approx 1, 32.$ La concentration moyenne durant la première heure est donc $T_{m} = 5 - 10 e^{- 1} \approx 1, 32 g/L .$

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