Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Convergence de deux suites vers une même limite

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

6 points

Le but de cet exercice est d'étudier les convergences de deux suites vers une même limite.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[2; + \infty [$ par

$f (x) = 3 x - 2 .$

1. Justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous :

(figure : tableau de variations de $f$ sur $[2; + \infty [$ ; $f$ est croissante, $f (2) = 2$ et $f$ tend vers $+ \infty$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .)

On admet que la suite $(u_{n})$ vérifiant $u_{0} = 6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n + 1} = f (u_{n})$ est bien définie.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel : $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 6$ .

b. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.

3. On appelle $ℓ$ la limite de $(u_{n})$ .

On admet qu'elle est solution de l'équation $f (x) = x$ . Déterminer la valeur de $ℓ$ .

4. On considère la fonction $rang$ écrite ci-dessous en langage Python.

On rappelle que $sqrt (x)$ renvoie la racine carrée du nombre $x$ .

1   from math import *
2
3   def rang(a) :
4       u = 6
5       n=0
6       while u > = a :
7           u = sqrt(3*u - 2)
8           n = n+1
9       return n

a. Pourquoi peut-on affirmer que $rang (2.000001)$ renvoie une valeur ?

b. Pour quelles valeurs du paramètre $a$ l'instruction $rang (a)$ renvoie-t-elle un résultat ?

Partie B

On admet que la suite $(v_{n})$ vérifiant $v_{0} = 6$ et, pour tout $n$ , entier naturel, $v_{n + 1} = 3 - \frac{2}{v _{n}}$ est bien définie.

1. Calculer $v_{1}$ .

2. Pour tout $n$ entier naturel, on admet que $v_{n} \neq = 2$ et on pose :

$w_{n} = \frac{v _{n} - 1}{v _{n} - 2} .$

a. Démontrer que la suite $(w_{n})$ est géométrique de raison 2 et préciser son premier terme $w_{0}$ .

b. On admet que, pour tout $n$ entier naturel,

$w_{n} - 1 = \frac{1}{v _{n} - 2} .$

En déduire que, pour tout $n$ entier naturel,

$v_{n} = 2 + \frac{1}{1 , 25 \times 2 ^{n} - 1} .$

c. Calculer la limite de $(v_{n})$ .

3. Résoudre le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $v_{n} < 2, 01$ en résolvant l'inéquation.

Partie C

À l'aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout $n ⩾ N$ , les termes $v_{n}$ et $u_{n}$ appartiennent à l'intervalle $[1, 99; 2, 01]$ .

Corrigé

Partie A

1. Pour $x ⩾ 2$ : donc $3 x ⩾ 6$ , puis $3 x - 2 ⩾ 4 > 0$ donc $f$ est bien définie et dérivable.

$\forall x \in [2; + \infty [$ , $f^{'} (x) = \frac{3}{2 3 x - 2} > 0$ comme quotient de nombres positifs non nuls.

$f^{'}$ est à valeurs strictement positives sur $[2; + \infty [$ , donc $f$ est strictement croissante sur $[2; + \infty [$ .

On a : $f (2) = 3 \times 2 - 2 = 4 = 2$ .

Et : $x \to + \infty lim 3 x - 2 = + \infty$ ,

donc, par composition (avec $y = 3 x - 2$ ) : $x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim 3 x - 2 = y \to + \infty lim y = + \infty$ .

2. a. Initialisation : Pour $n = 0$ , $u_{0} = 6 ⩾ 2$ .

Donc : $u_{1} = f (6) = 3 \times 6 - 2 = 16 = 4 ⩾ 2$ .

Donc on a bien : $2 ⩽ u_{1} ⩽ u_{0} ⩽ 6$ . L'inégalité est vraie pour $n = 0$ .

Hérédité : Supposons que, pour un entier $n$ entier naturel donné, l'inégalité soit vraie, c'est-à-dire : $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 6$ .

Montrons que l'inégalité suivante est vraie, c'est-à-dire : $2 ⩽ u_{n + 2} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 6$ .

Par hypothèse de récurrence : $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 6$ .

Comme $f$ est strictement croissante sur $[2; + \infty [$ : $f (2) ⩽ f (u_{n + 1}) ⩽ f (u_{n}) ⩽ f (6)$ .

D'après la définition de récurrence de $(u_{n})$ : $3 \times 2 - 2 ⩽ u_{n + 2} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 3 \times 6 - 2$ .

Finalement, comme $4 ⩽ 6$ qui appartient à l'intervalle $[2; + \infty [$ : $2 ⩽ u_{n + 2} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 6$ .

Enfin, comme $4 ⩽ 6$ , qui appartient à l'intervalle, on obtient bien : $2 ⩽ u_{n + 2} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 6$ .

Si l'inégalité est vraie pour un entier naturel $n$ donné, alors on prouve qu'elle est aussi vraie pour l'indice suivant, $n + 1$ .

Conclusion : L'inégalité est vraie pour l'indice $n = 0$ , et lorsqu'elle est vraie pour un entier naturel $n$ donné, elle est héréditaire. Par application du principe de récurrence, on a donc, pour tout $n$ entier naturel, on a : $2 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 6$ .

b. De la question précédente on tire :

$\forall n \in N$ , $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ : la suite $(u_{n})$ est décroissante ;
$\forall n \in N$ , $2 ⩽ u_{n}$ : la suite $(u_{n})$ est minorée par 2 ;

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