Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Étude d'une fonction avec logarithme et étude d'une suite récurrente

6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1;+\infty [$ par $$f(x)=4\ln (x+1)-\frac{x^2}{25}.$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]-1;+\infty [$.

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-1$.

2. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-1;+\infty [$, on a : $$f^{\prime }(x)=\frac{100-2x-2x^2}{25(x+1)}.$$

3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1;+\infty [$ puis en déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2;6,5]$.

4. On considère $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[2;6,5]$ par $h(x)=f(x)-x$.

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $h$ :

(figure : tableau de variations de $h$ sur $[2;6,5]$ ; $h$ croît de $h(2)$ jusqu'à un maximum $M=2,265$ atteint en $m\approx 2,364$, puis décroît jusqu'à $h(6,5)$.)

Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in [2;6,5]$.

5. On considère le script suivant, écrit en langage Python :

from math import *

def f(x) :
    return 4*log(1+x)-(x**2)/25

def bornes(n) :
    p = 1/10**n
    x = 6
    while f(x)-x > 0 :
        x = x + p
    return (x-p, x)

On rappelle qu'en langage Python :

• la commande $\log (x)$ renvoie la valeur $\ln x$ ;
• la commande $c\ast \ast d$ renvoie la valeur de $c^d$.

a. Donner les valeurs renvoyées par la commande bornes(2). On donnera les valeurs arrondies au centième.

b. Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$, et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n$ entier naturel, $$2⩽u_n⩽u_{n+1}⩽6,5.$$

2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.

3. On rappelle que le réel $\alpha$, défini dans la partie A, est la solution de l'équation $h(x)=0$ sur l'intervalle $[2;6,5]$.

Justifier que $\ell =\alpha$.