Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Étude des fonctions $x^{n} e^{- x}$ et de la suite d'intégrales $I_{n}$

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On munit le plan d'un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel $n$ , on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $[0; + \infty [$ par : $f_{0} (x) = e^{- x} et, pour n ⩾ 1, f_{n} (x) = x^{n} e^{- x} .$ Pour tout entier naturel $n$ , on note $C_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$ .

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude des fonctions $f_{n}$ pour $n ⩾ 1$

On considère un entier naturel $n ⩾ 1$ .

1. a) On admet que la fonction $f_{n}$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ . Montrer que pour tout $x ⩾ 0$ : $f_{n}^{'} (x) = (n - x) x^{n - 1} e^{- x} .$

b) Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous.

(figure : tableau de variations de $f_{n}$ sur $[0; + \infty [$ . $f_{n}^{'} (x)$ est positive (signe $+$ ) sur $[0; n [$ , s'annule en $n$ , puis négative (signe $-$ ) sur $] n; + \infty [$ . $f_{n}$ croît de $0$ jusqu'au maximum $(\frac{n}{e})^{n}$ atteint en $x = n$ , puis décroît vers $0$ .)

2. Justifier par le calcul que le point $A (1; e^{- 1})$ appartient à la courbe $C_{n}$ .

Partie B : Étude des intégrales $\int_{0}^{1} f_{n} (x) d x$ pour $n ⩾ 0$

Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_{n}$ sur $[0; 1]$ et on considère la suite $(I_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x .$

1. Sur le graphique en ANNEXE, on a représenté les courbes $C_{0}$ , $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{10}$ et $C_{100}$ .

a) Donner une interprétation graphique de $I_{0}$ .

b) Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_{n})$ ?

2. Calculer $I_{0}$ .

3. a) Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que pour tout $x \in [0; 1]$ : $0 ⩽ x^{n + 1} ⩽ x^{n} .$

b) En déduire que pour tout entier naturel $n$ , on a : $0 ⩽ I_{n + 1} ⩽ I_{n} .$

4. Démontrer que la suite $(I_{n})$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $ℓ$ .

5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $I_{n + 1} = (n + 1) I_{n} - \frac{1}{e} .$

6. a) Démontrer que si $ℓ \neq = 0$ , l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.

b) Démontrer que $ℓ = 0$ . On pourra utiliser la question 6. a.

On donne ci-dessous le script de la fonction mystere, écrite en langage Python.

def mystere(n):
    I = 1 - 1/e
    L = [I]
    for i in range(n):
        I = (i + 1)*I - 1/e
        L.append(I)
    return L

7. Que renvoie mystere(100) dans le contexte de l'exercice ?

Corrigé

Partie A : Étude des fonctions $f_{n}$ pour $n ⩾ 1$

1. a) On dérive un produit de deux fonctions dérivables sur $[0; + \infty [$ . Soit $x$ un réel positif : $f_{n}^{'} (x) = n x^{n - 1} \times e^{- x} + x^{n} \times (- e^{- x}) = (n x^{n - 1} - x^{n}) e^{- x} = (n x^{n - 1} - x \times x^{n - 1}) e^{- x} = (n - x) x^{n - 1} e^{- x} .$ $f_{n}^{'} (x) = (n - x) x^{n - 1} e^{- x}$

b) La fonction exponentielle est à valeurs strictement positives sur $R$ , donc pour tout $x \in [0; + \infty [$ , $e^{- x} > 0$ . Sur $[0; + \infty [$ , $x$ étant positif, $x^{n - 1}$ est positif ; donc le signe de $f_{n}^{'} (x)$ ne dépend que de celui de $(n - x)$ . Or $n - x > 0 ⟺ n > x$ , donc $f_{n}^{'} (x) > 0$ sur $[0; n [$ , $f_{n}^{'} (x) < 0$ sur $] n; + \infty [$ et $f_{n}^{'}$ s'annule en $n$ .

Valeurs aux bornes : $f_{n} (0) = 0^{n} \times e^{- 0} = 0 \times 1 = 0$ $f_{n} (n) = n^{n} \times e^{- n} = n^{n} \times \frac{1}{e ^{n}} = \frac{n ^{n}}{e ^{n}} = (\frac{n}{e})^{n}$ Enfin, pour tout $x \in [0; + \infty [$ , $f_{n} (x) = x^{n} e^{- x} = \frac{x ^{n}}{e ^{x}} = \frac{1}{\frac{e ^{x}}{x ^{n}}}$ . La propriété des croissances comparées donne $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ , donc, par limite du quotient : $x \to + \infty lim f_{n} (x) = x \to + \infty lim \frac{1}{\frac{e ^{x}}{x ^{n}}} = 0.$ La courbe $C_{n}$ admet donc une asymptote horizontale d'équation $y = 0$ au voisinage de $+ \infty$ . Tous les éléments du tableau de variations sont ainsi justifiés.

2. Pour $n$ entier naturel non nul, $f_{n} (1) = 1^{n} \times e^{- 1} = 1 \times e^{- 1} = e^{- 1}$ . Le point $A (1; e^{- 1})$ a donc pour ordonnée $f_{n} (1)$ , donc le point $A$ appartient bien à la courbe $C_{n}$ . $A (1; e^{- 1}) \in C_{n}$

Partie B : Étude des intégrales $\int_{0}^{1} f_{n} (x) d x$

1. a) La fonction $f_{0}$ est à valeurs positives sur $[0; 1]$ , donc $I_{0}$ correspond à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe $C_{0}$ , l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équation $x = 0$ et $x = 1$ .

b) De la même façon, chaque intégrale $I_{n}$ est l'aire sous la courbe $C_{n}$ entre les abscisses $x = 0$ et $x = 1$ . Graphiquement, ces aires semblent de plus en plus petites lorsque $n$ augmente, et la suite $(I_{n})$ paraît minorée par 0. On conjecture donc que la limite de la suite $(I_{n})$ est 0. $n \to + \infty lim I_{n} = 0 (conjecture)$

2. $I_{0} = \int_{0}^{1} e^{- x} d x = [- e^{- x}]_{0}^{1} = (- e^{- 1}) - (- e^{0}) = - e^{- 1} + e^{0} = 1 - \frac{1}{e}$ . $I_{0} = 1 - \frac{1}{e}$

3. a) Soit $n$ un entier naturel et $x \in [0; 1]$ , donc $0 ⩽ x ⩽ 1$ . En multipliant par $x^{n}$ (positif car $x ⩾ 0$ ) : $0 \times x^{n} ⩽ x \times x^{n} ⩽ 1 \times x^{n}$ , soit $0 ⩽ x^{n + 1} ⩽ x^{n}$ . $0 ⩽ x^{n + 1} ⩽ x^{n}$

b) En multipliant l'inégalité précédente par $e^{- x}$ , qui est strictement positif : $0 ⩽ x^{n + 1} e^{- x} ⩽ x^{n} e^{- x}$ , soit $0 ⩽ f_{n + 1} (x) ⩽ f_{n} (x)$ . Comme on intègre entre 0 et 1, avec $0 < 1$ , par positivité de l'intégrale on en déduit : $\int_{0}^{1} 0 d x ⩽ \int_{0}^{1} f_{n + 1} (x) d x ⩽ \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x soit 0 ⩽ I_{n + 1} ⩽ I_{n} .$ $0 ⩽ I_{n + 1} ⩽ I_{n}$

4. D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ :

$0 ⩽ I_{n}$ , donc la suite $(I_{n})$ est minorée par 0 ;
$I_{n + 1} ⩽ I_{n}$ , donc la suite $(I_{n})$ est décroissante.

La suite étant décroissante et minorée par 0, elle est convergente, vers une limite $ℓ$ supérieure ou égale à 0. $(I_{n}) converge vers ℓ ⩾ 0$

5. Soit $n$ un entier naturel. On pose $u (x) = x^{n + 1}$ et $v (x) = - e^{- x}$ , d'où $u^{'} (x) = (n + 1) x^{n}$ et $v^{'} (x) = e^{- x}$ . Toutes ces fonctions sont continues et dérivables sur $[0; 1]$ , donc : $I_{n + 1} = \int_{0}^{1} x^{n + 1} e^{- x} d x = \int_{0}^{1} u (x) v^{'} (x) d x$ $= [u (x) v (x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{'} (x) v (x) d x (int e ˊ gration par parties)$ $= [x^{n + 1} \times (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (n + 1) x^{n} \times (- e^{- x}) d x$ $= (- 1^{n + 1} \times e^{- 1}) - (- 0^{n + 1} \times e^{- 0}) + (n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x (par lin e ˊ arit e ˊ)$ $= - \frac{1}{e} + (n + 1) I_{n} = (n + 1) I_{n} - \frac{1}{e} .$ On retrouve bien la relation de récurrence annoncée. $I_{n + 1} = (n + 1) I_{n} - \frac{1}{e}$

6. a) Supposons que la limite $ℓ$ soit strictement supérieure à zéro. Alors, par limite du produit : $n \to + \infty lim (n + 1) I_{n} = + \infty$ . Puis, par limite de la somme : $n \to + \infty lim [(n + 1) I_{n} - \frac{1}{e}] = + \infty$ , soit $n \to + \infty lim I_{n + 1} = + \infty$ : la suite de terme général $I_{n}$ diverge vers $+ \infty$ .

Or la suite de terme général $I_{n + 1}$ a la même limite que la suite $(I_{n})$ , qui converge vers un réel positif $ℓ$ (inférieur à $I_{0} = 1 - e^{- 1}$ ). Il y a donc une contradiction. $ℓ \neq = 0 conduit a ˋ une contradiction$

b) À la question précédente, la supposition $ℓ \neq = 0$ conduit à une contradiction. On démontre donc, par l'absurde, que $ℓ = 0$ n'est pas possible d'écarter : comme on sait depuis la question 4 que $ℓ$ est un réel positif ou nul, on en déduit $ℓ = 0$ . La suite $(I_{n})$ converge donc vers 0, ce qui confirme la conjecture. $ℓ = 0$

7. mystere(100) renvoie une liste (stockée dans la variable L) contenant les valeurs (approchées) des 101 premiers termes de la suite, de $I_{0}$ à $I_{100}$ .

En effet, I est initialisée (ligne 2) à la valeur $I_{0} = 1 - \frac{1}{e}$ , puis L est initialisée (ligne 3) comme liste contenant $I_{0}$ . Ensuite, la boucle (lignes 4 à 6) réalise 100 répétitions (pour i allant de 0 à 99) : à chaque exécution, I est mise à jour (ligne 5) en utilisant la relation de récurrence $I_{i + 1} = (i + 1) I_{i} - \frac{1}{e}$ , donc passe de la valeur d'un terme à celle du terme suivant, et cette nouvelle valeur est ajoutée à la fin de L (ligne 6). En sortie de boucle, après 100 applications de la relation, L contient les valeurs approchées de $I_{0}, I_{1}, \dots, I_{100}$ .

Remarque : si l'on exécute réellement ce script, les résultats deviennent manifestement faux à partir de $n = 18$ (les valeurs trouvées deviennent négatives) : les calculs se font avec une valeur approchée de $e$ et les erreurs d'arrondi se cumulent rapidement. En revanche, en calculant les aires sous les courbes (par exemple avec un logiciel), on retrouve bien une suite d'intégrales qui tend vers 0.

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