Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Étude des fonctions $x^{n} e^{- x}$ et de la suite d'intégrales $I_{n}$

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On munit le plan d'un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel $n$ , on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $[0; + \infty [$ par : $f_{0} (x) = e^{- x} et, pour n ⩾ 1, f_{n} (x) = x^{n} e^{- x} .$ Pour tout entier naturel $n$ , on note $C_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$ .

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude des fonctions $f_{n}$ pour $n ⩾ 1$

On considère un entier naturel $n ⩾ 1$ .

1. a) On admet que la fonction $f_{n}$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ . Montrer que pour tout $x ⩾ 0$ : $f_{n}^{'} (x) = (n - x) x^{n - 1} e^{- x} .$

b) Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous.

(figure : tableau de variations de $f_{n}$ sur $[0; + \infty [$ . $f_{n}^{'} (x)$ est positive (signe $+$ ) sur $[0; n [$ , s'annule en $n$ , puis négative (signe $-$ ) sur $] n; + \infty [$ . $f_{n}$ croît de $0$ jusqu'au maximum $(\frac{n}{e})^{n}$ atteint en $x = n$ , puis décroît vers $0$ .)

2. Justifier par le calcul que le point $A (1; e^{- 1})$ appartient à la courbe $C_{n}$ .

Partie B : Étude des intégrales $\int_{0}^{1} f_{n} (x) d x$ pour $n ⩾ 0$

Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_{n}$ sur $[0; 1]$ et on considère la suite $(I_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x .$

1. Sur le graphique en ANNEXE, on a représenté les courbes $C_{0}$ , $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{10}$ et $C_{100}$ .

a) Donner une interprétation graphique de $I_{0}$ .

b) Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_{n})$ ?

2. Calculer $I_{0}$ .

3. a) Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que pour tout $x \in [0; 1]$ : $0 ⩽ x^{n + 1} ⩽ x^{n} .$

b) En déduire que pour tout entier naturel $n$ , on a : $0 ⩽ I_{n + 1} ⩽ I_{n} .$

4. Démontrer que la suite $(I_{n})$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $ℓ$ .

5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $I_{n + 1} = (n + 1) I_{n} - \frac{1}{e} .$

6. a) Démontrer que si $ℓ \neq = 0$ , l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.

b) Démontrer que $ℓ = 0$ . On pourra utiliser la question 6. a.

On donne ci-dessous le script de la fonction mystere, écrite en langage Python.

def mystere(n):
    I = 1 - 1/e
    L = [I]
    for i in range(n):
        I = (i + 1)*I - 1/e
        L.append(I)
    return L

7. Que renvoie mystere(100) dans le contexte de l'exercice ?

Corrigé

Partie A : Étude des fonctions $f_{n}$ pour $n ⩾ 1$

1. a) On dérive un produit de deux fonctions dérivables sur $[0; + \infty [$ . Soit $x$ un réel positif : $f_{n}^{'} (x) = n x^{n - 1} \times e^{- x} + x^{n} \times (- e^{- x}) = (n x^{n - 1} - x^{n}) e^{- x} = (n x^{n - 1} - x \times x^{n - 1}) e^{- x} = (n - x) x^{n - 1} e^{- x} .$ $f_{n}^{'} (x) = (n - x) x^{n - 1} e^{- x}$

b) La fonction exponentielle est à valeurs strictement positives sur $R$ , donc pour tout $x \in [0; + \infty [$ , $e^{- x} > 0$ . Sur $[0; + \infty [$ , $x$ étant positif, $x^{n - 1}$ est positif ; donc le signe de $f_{n}^{'} (x)$ ne dépend que de celui de $(n - x)$ . Or $n - x > 0 ⟺ n > x$ , donc $f_{n}^{'} (x) > 0$ sur $[0; n [$ , $f_{n}^{'} (x) < 0$ sur $] n; + \infty [$ et $f_{n}^{'}$ s'annule en $n$ .

Valeurs aux bornes : $f_{n} (0) = 0^{n} \times e^{- 0} = 0 \times 1 = 0$ $f_{n} (n) = n^{n} \times e^{- n} = n^{n} \times \frac{1}{e ^{n}} = \frac{n ^{n}}{e ^{n}} = (\frac{n}{e})^{n}$ Enfin, pour tout $x \in [0; + \infty [$ , $f_{n} (x) = x^{n} e^{- x} = \frac{x ^{n}}{e ^{x}} = \frac{1}{\frac{e ^{x}}{x ^{n}}}$ . La propriété des croissances comparées donne $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ , donc, par limite du quotient : $x \to + \infty lim f_{n} (x) = x \to + \infty lim \frac{1}{\frac{e ^{x}}{x ^{n}}} = 0.$ La courbe $C_{n}$ admet donc une asymptote horizontale d'équation $y = 0$ au voisinage de $+ \infty$ . Tous les éléments du tableau de variations sont ainsi justifiés.

2. Pour $n$ entier naturel non nul, $f_{n} (1) = 1^{n} \times e^{- 1} = 1 \times e^{- 1} = e^{- 1}$ . Le point $A (1; e^{- 1})$ a donc pour ordonnée $f_{n} (1)$ , donc le point $A$ appartient bien à la courbe $C_{n}$ . $A (1; e^{- 1}) \in C_{n}$

Partie B : Étude des intégrales $\int_{0}^{1} f_{n} (x) d x$

1. a) La fonction $f_{0}$ est à valeurs positives sur $[0; 1]$ , donc $I_{0}$ correspond à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface délimitée par la courbe $C_{0}$ , l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équation $x = 0$ et $x = 1$ .

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