Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Fonction logarithme, aire d'un rectangle et algorithme

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;8]$ par $$f(x)=\frac{10\ln \left(-x^2+7x+9\right)}{x}$$ Soit $C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{ı},\overrightarrow{ȷ})$.

Partie A

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-x^2+7x+8⩾0$.

2. En déduire que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0;8]$, $f(x)⩾0$.

3. Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie B

La courbe $C_f$ est représentée ci-dessous.

(figure : courbe $C_f$ tracée sur $]0;8]$ dans le repère orthonormé. La courbe part du voisinage de l'axe des ordonnées, présente un maximum, puis redescend et coupe l'axe des abscisses au voisinage de $x=\sqrt{?}$ proche de $8$. Le point $M$ est placé sur la courbe avec son projeté $P$ sur l'axe des ordonnées.)

Soit $M$ le point de $C_f$ d'abscisse $x$ appartenant à l'intervalle $]0;8]$. On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux du point $M$ respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées. Dans cette partie, on s'intéresse à l'aire $\mathcal{A}(x)$ du rectangle $ONMP$.

1. Donner les coordonnées des points $N$ et $P$ en fonction de $x$.

2. Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0;8]$, $$\mathcal{A}(x)=10\ln \left(-x^2+7x+9\right)$$

3. Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l'aire du rectangle $ONMP$ est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.

Partie C

On considère un réel $k$ strictement positif. On souhaite déterminer la plus petite valeur de $x$, approchée au dixième, appartenant à $[3,5;8[$ pour laquelle l'aire $\mathcal{A}(x)$ devient inférieure ou égale à $k$. Pour ce faire, on considère l'algorithme ci-dessous. Pour rappel, en langage Python, $\ln (x)$ s'écrit log(x).

from math import *

def A(x) :
    return 10*log (- x**2 + 7*x + 9)

def pluspetitevaleur(k):
    x = 3.5
    while A(x) ........... :
        x = x + 0.1
    return ...........

1. Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l'algorithme.

2. Quel nombre renvoie alors l'instruction pluspetitevaleur(30) ?

3. Que se passe-t-il lorsque $k=35$ ? Justifier.