Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Fonction logarithme, aire d'un rectangle et algorithme

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; 8]$ par $f (x) = \frac{10 ln ( - x ^{2} + 7 x + 9 )}{x}$ Soit $C_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; , )$ .

Partie A

1. Résoudre dans $R$ l'inéquation $- x^{2} + 7 x + 8 ⩾ 0$ .

2. En déduire que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $] 0; 8]$ , $f (x) ⩾ 0$ .

3. Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie B

La courbe $C_{f}$ est représentée ci-dessous.

(figure : courbe $C_{f}$ tracée sur $] 0; 8]$ dans le repère orthonormé. La courbe part du voisinage de l'axe des ordonnées, présente un maximum, puis redescend et coupe l'axe des abscisses au voisinage de $x = ?$ proche de $8$ . Le point $M$ est placé sur la courbe avec son projeté $P$ sur l'axe des ordonnées.)

Soit $M$ le point de $C_{f}$ d'abscisse $x$ appartenant à l'intervalle $] 0; 8]$ . On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux du point $M$ respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées. Dans cette partie, on s'intéresse à l'aire $A (x)$ du rectangle $O N M P$ .

1. Donner les coordonnées des points $N$ et $P$ en fonction de $x$ .

2. Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $] 0; 8]$ , $A (x) = 10 ln (- x^{2} + 7 x + 9)$

3. Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l'aire du rectangle $O N M P$ est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.

Partie C

On considère un réel $k$ strictement positif. On souhaite déterminer la plus petite valeur de $x$ , approchée au dixième, appartenant à $[3, 5; 8 [$ pour laquelle l'aire $A (x)$ devient inférieure ou égale à $k$ . Pour ce faire, on considère l'algorithme ci-dessous. Pour rappel, en langage Python, $ln (x)$ s'écrit log(x).

from math import *

def A(x) :
    return 10*log (- x**2 + 7*x + 9)

def pluspetitevaleur(k):
    x = 3.5
    while A(x) ........... :
        x = x + 0.1
    return ...........

1. Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l'algorithme.

2. Quel nombre renvoie alors l'instruction pluspetitevaleur(30) ?

3. Que se passe-t-il lorsque $k = 35$ ? Justifier.

Corrigé

Partie A

1. $- x^{2} + 7 x + 8 ⩾ 0$ admet $- 1$ comme solution évidente. L'autre solution de l'équation du second degré est $8$ . Le trinôme est négatif (du signe du coefficient de $x^{2}$ ), sauf entre les racines, d'où le tableau de signes de $x \mapsto - x^{2} + 7 x + 8$ :

(figure : tableau de signes. Sur $] - \infty; - 1 [$ : signe $-$ ; en $- 1$ : $0$ ; sur $] - 1; 8 [$ : signe $+$ ; en $8$ : $0$ ; sur $] 8; + \infty [$ : signe $-$ .)

L'ensemble des solutions de l'inéquation $- x^{2} + 7 x + 8 ⩾ 0$ sur $R$ est l'intervalle $[- 1; 8]$ .

2. Pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $] 0; 8]$ , $- x^{2} + 7 x + 8 ⩾ 0$ . D'où, en ajoutant $1$ à chaque membre : $- x^{2} + 7 x + 9 ⩾ 1$ . Comme la fonction logarithme népérien est une fonction croissante, on a pour $x$ appartenant à $] 0; 8]$ : $ln (- x^{2} + 7 x + 9) ⩾ ln (1)$ , c'est-à-dire $ln (- x^{2} + 7 x + 9) ⩾ 0$ . Pour tout $x$ appartenant à $] 0; 8]$ , $x > 0$ et $10 ln (- x^{2} + 7 x + 9) ⩾ 0$ , donc $f (x) = \frac{10 ln ( - x ^{2} + 7 x + 9 )}{x} ⩾ 0$

3. Sur l'intervalle $] 0; 8]$ , la courbe représentative $C_{f}$ est au-dessus de l'axe des abscisses.

Partie B

1. Pour $x \in] 0; 8]$ , $M (x; \frac{10 ln ( - x ^{2} + 7 x + 9 )}{x})$ et donc $N (x; 0)$ et $P (0; \frac{10 ln ( - x ^{2} + 7 x + 9 )}{x})$ .

2. Comme pour $x \in] 0; 8]$ , l'abscisse de $N$ est positive et l'ordonnée de $P$ est positive. On peut écrire $O N = x$ et $O P = \frac{10 ln ( - x ^{2} + 7 x + 9 )}{x}$ . L'aire du rectangle $O N M P$ vaut $O N \times O P$ : $\forall x \in] 0; 8], A (x) = x \times \frac{10 ln ( - x ^{2} + 7 x + 9 )}{x} = 10 ln (- x^{2} + 7 x + 9)$

3. Sur $] 0; 8]$ , $- x^{2} + 7 x + 9 > 0$ donc $A$ est une fonction dérivable de la variable $x$ sur $] 0; 8]$ comme composée de fonctions définies et dérivables. $\forall x \in] 0; 8], A^{'} (x) = 10 \times \frac{- 2 x + 7}{- x ^{2} + 7 x + 9}$ S'il existe $x \in] 0; 8]$ telle que $A$ soit maximale, il faut que $A^{'} (x) = 0$ . $\forall x \in] 0; 8]$ , $- x^{2} + 7 x + 9 > 0$ , donc $A^{'} (x)$ est du signe de $- 2 x + 7$ . $A^{'} (x) ⩾ 0 ⟺ - 2 x + 7 ⩾ 0 ⟺ x ⩽ \frac{7}{2}$ $A$ est croissante sur $] 0; \frac{7}{2}]$ et décroissante sur $[\frac{7}{2}; 8]$ . La dérivée s'annule en $\frac{7}{2}$ , est positive avant puis négative après, donc la fonction $A$ admet un maximum sur $] 0; 8]$ atteint pour $x = \frac{7}{2}$ . $A (\frac{7}{2}) = 10 ln (17) + 10 ln (5) - 20 ln (2) \approx 30, 56$ Le rectangle $O N M P$ a une aire maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\frac{7}{2}$ .

Partie C

1. On complète les lignes 8 et 10 :

from math import *

def A(x) :
    return 10*log(- x**2 + 7*x + 9)

def pluspetitevaleur(k):
    x = 3.5
    while A(x) > k :
        x = x + 0.1
    return x

>>> pluspetitevaleur(30)
4.599999999999998

L'instruction renvoie environ $4, 6$ .

3. Lorsque $k = 35$ , comme le maximum de $A$ vaut environ $30, 56 < 35$ , la condition A(x) > 35 n'est jamais vérifiée donc le contenu de la boucle n'est pas exécuté. L'appel pluspetitevaleur(35) renvoie $3, 5$ .

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