Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Géométrie dans l'espace : droites, plans, vrai-faux

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$. On considère :

• les points $C(3;0;0)$, $D(0;2;0)$ et $I\left(\frac{-54}{13};\frac{62}{13};0\right)$ ;
• le plan $P$ d'équation cartésienne $2x+3y+6z-6=0$ ;
• le plan $P^{\prime }$ d'équation cartésienne $x-2y+3z-3=0$ ;
• la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est : $\{\begin{array}{l}x=-8+\frac{1}{3}t\\ y=-1+\frac{1}{2}t\\ z=-4+t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : La droite $(d)$ est orthogonale au plan $P$ et coupe ce plan en H.

Affirmation 2 : La mesure en degré de l'angle $\widehat{DCH}$, arrondie à $10^{-1}$, est $17,3°$.

Affirmation 3 : Les plans $P$ et $P^{\prime }$ sont sécants et leur intersection est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $\{\begin{array}{l}x=3-3t\\ y=0\\ z=t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

Affirmation 4 : Le point $I$ est le projeté orthogonal du point $H$ sur la droite $(CD)$.