Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Géométrie dans l'espace : droites, plans, vrai-faux

Affirmation 1 : D'après la représentation paramétrique donnée, le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $(d)$, et d'après l'équation cartésienne de $P$, $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ est un vecteur normal à $P$. Comme $\overrightarrow{n}=6\overrightarrow{u}$, les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, donc $(d)$ est orthogonale à $P$. De plus $2x_H+3y_H+6z_H-6=2\times (-6)+3\times 2+6\times 2-6=0$ donc $H\in P$. $H(-6;2;2)\in (d)$ s'il existe $t\in \mathbb{R}$ tel que $$\{\begin{array}{l}-6=-8+\frac{1}{3}t\\ 2=-1+\frac{1}{2}t\\ 2=-4+t\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-18=-24+t\\ 4=-2+t\\ 2=-4+t\end{array}⟺\{\begin{array}{l}6=t\\ 6=t\\ 6=t\end{array}$$ Le système est vérifié pour $t=6$ donc $H$ est le point d'intersection de $(d)$ et de $P$. Conclusion : l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : $\overrightarrow{CH}\left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ donc $\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{CD}=-9\times (-3)+2\times 2+2\times 0=31$. Or par définition $\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{CD}=\Vert \overrightarrow{CH}\Vert \times \Vert \overrightarrow{CD}\Vert \times \cos \left(\widehat{DCH}\right)$. On a $\Vert \overrightarrow{CH}\Vert =\sqrt{(-9{)}^2+2^2+2^2}=\sqrt{89}$ et $\Vert \overrightarrow{CD}\Vert =\sqrt{(-3{)}^2+2^2+0^2}=\sqrt{13}$ donc $\cos \left(\widehat{DCH}\right)=\frac{\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{CD}}{\Vert \overrightarrow{CH}\Vert \times \Vert \overrightarrow{CD}\Vert }=\frac{31}{\sqrt{89}\times \sqrt{13}}$. Donc l'angle $\widehat{DCH}$ mesure environ $24,3°$, donc l'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3 : $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ est un vecteur normal à $P$ ; $\overrightarrow{n^{\prime }}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ est un vecteur normal à $P^{\prime }$. Les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n^{\prime }}$ ne sont pas colinéaires donc les plans $P$ et $P^{\prime }$ ne sont pas parallèles. $A(3;0;0)\in \Delta$ (obtenu avec $t=0$). $2x_A+3y_A+6z_A-6=2\times 3+3\times 0+6\times 0-6=0$ donc $A\in P$, et $x_A-2y_A+3z_A-3=3-0+0-3=0$ donc $A\in P^{\prime }$. Donc l'intersection des plans $P$ et $P^{\prime }$ est une droite contenant $A$. Pour déterminer si cette droite est $\Delta$, soit on prend un autre point, soit on prend un point, soit on montre qu'un vecteur directeur de $\Delta$ est orthogonal à $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n^{\prime }}$. $B(0;0;1)\in \Delta$ (obtenu avec $t=1$). $2x_B+3y_B+6z_B-6=2\times 0+3\times 0+6\times 1-6=0$ donc $B\in P$, et $x_B-2y_B+3z_B-3=0-0+3-3=0$ donc $B\in P^{\prime }$. Donc l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4 : $\overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ donc une représentation paramétrique de la droite $(CD)$ est $\{\begin{array}{l}x=3-3s\\ y=2s\\ z=0\end{array}$, $s\in \mathbb{R}$. Pour $s=\frac{31}{13}$ on retrouve les coordonnées de $I$ donc $I\in (CD)$. De plus $\overrightarrow{HI}\left(\begin{array}{c}\frac{24}{13}\\ \frac{36}{13}\\ -2\end{array}\right)$ donc $\overrightarrow{HI}\cdot \overrightarrow{CD}=\frac{24}{13}\times (-3)+\frac{36}{13}\times 2+(-2)\times 0=0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{HI}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux, donc $I$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(CD)$ : l'affirmation 4 est vraie.